目前大家應(yīng)該是對(duì)根號(hào)2（迷人的 √2）比較感興趣的，所以今天好房網(wǎng)小編CC就來(lái)為大家整理了一些關(guān)于根號(hào)2（迷人的 √2）方面的相關(guān)知識(shí)來(lái)分享給大家，希望大家會(huì)喜歡哦。

根號(hào)2（迷人的 √2）

每一種新的進(jìn)步，都必然表現(xiàn)為對(duì)某種神圣事物的褻瀆。

——馬克思

（一）√2的誕生，沾滿鮮血，令人扼腕嘆息

古希臘著名的畢達(dá)哥拉斯學(xué)派(Pythagoreanism)認(rèn)為"萬(wàn)物皆數(shù)"，世間萬(wàn)物(包括宇宙星辰)的性質(zhì)都是由自然數(shù)之間的比值決定的。

所以這個(gè)學(xué)派的一個(gè)基本信條是：自然數(shù)和分?jǐn)?shù)是萬(wàn)事萬(wàn)物的本質(zhì)。但是，據(jù)說畢達(dá)哥拉斯學(xué)派內(nèi)部的一個(gè)成員希巴斯(Hippasus)卻動(dòng)搖了這個(gè)信條，希巴斯他勤奮好學(xué)，善于觀察分析和思考。一天，他研究了這樣的問題："邊長(zhǎng)為1的正方形，其對(duì)角線的長(zhǎng)是多少呢？" 他根據(jù)畢達(dá)哥拉斯定理，計(jì)算是根號(hào)2 ，并發(fā)現(xiàn)根號(hào)2 即不是整數(shù)，也不是整數(shù)的比。他既高興又感到迷惑，根據(jù)老師的觀點(diǎn)，根號(hào)2 是不應(yīng)該存在的，但對(duì)角線有客觀地存在，他無(wú)法解釋，他把自己的研究結(jié)果告訴了老師，并請(qǐng)求給予解釋。

"什么？"畢達(dá)哥拉斯大吃一驚，"竟然有不是整數(shù)又不是整數(shù)之比的東西？""是的！"希巴斯說，"我已經(jīng)證明了這一點(diǎn)！"希巴斯證明√2不是兩個(gè)整數(shù)的比的過程采用的是反證法。

希巴斯的論證極富邏輯性，無(wú)懈可擊。畢達(dá)哥拉斯看過希巴斯的證明后，悶聲不響，雙手顫抖，額面上冒出漢珠。希巴斯連忙問："怎么了老師，我做錯(cuò)了嗎？"

"你沒有錯(cuò)！你……你給我出去！"畢達(dá)哥拉斯神態(tài)異常，揮手讓希巴斯出去。希巴斯不解地看著老師，邁步出門。剛要關(guān)上門，畢達(dá)哥拉斯又突然喊到："回來(lái)！" 希巴斯又走回來(lái)。畢達(dá)哥拉斯口氣十分嚴(yán)肅地說："你給我證！這事不許外傳，除了你除了我，不許讓第三個(gè)人知道！"

"為什么？""不為什么！這是我的規(guī)矩，懂嗎？"希巴斯狐疑地點(diǎn)點(diǎn)頭，告辭走了。

出現(xiàn)一個(gè)小小的√2，畢達(dá)哥拉斯為什么令他驚恐不安呢？我們知道，是無(wú)理數(shù)，是不能表示為分?jǐn)?shù)的數(shù)，盡管當(dāng)時(shí)畢達(dá)哥拉斯大名鼎鼎，但對(duì)無(wú)理數(shù)也一無(wú)所知。他早就宣布世界上只有整數(shù)或整數(shù)之比，卻偏偏出現(xiàn)一個(gè)像這樣的既不是整數(shù)又不是整數(shù)之比的數(shù)，他怎么能不感到為難呢？為了維護(hù)自己尊敬的信仰，也為了保住自己的臉面，數(shù)學(xué)巨人畢達(dá)哥拉斯對(duì)這類新的數(shù)采取"不承認(rèn)主義"，他威逼希巴斯保密，不要把事情說出去。還在他的弟子中宣布："誰(shuí)泄密的話埋誰(shuí)！" 畢達(dá)哥拉斯惟恐事情張揚(yáng)，會(huì)動(dòng)搖他們整個(gè)畢氏學(xué)派的基礎(chǔ)。

但希巴斯是一個(gè)很有思想，敢于堅(jiān)持真理的人。他沒有被權(quán)威嚇倒，也沒有放棄對(duì)的探求，一有機(jī)會(huì)仍然要宣傳√2客觀存在。希巴斯的觀點(diǎn)和畢達(dá)哥拉斯大權(quán)威的觀點(diǎn)針鋒相對(duì)。對(duì)此，畢達(dá)哥拉斯恨之入骨，以為希巴斯反叛，也是拆他的臺(tái)，便指使人把希巴斯當(dāng)叛徒者處死。希巴斯聞?dòng)?，連忙跳上一只剛啟航的海船逃離。畢老先生又叫人駕船追捕，追到大海上，把希巴斯逮住。希巴斯據(jù)理爭(zhēng)辯，被畢氏的其它門徒拳打腳踢，打得遍體鱗傷，最后被扔進(jìn)了大海。

畢達(dá)哥拉斯為了掩蓋小小的帶來(lái)的矛盾，慘忍殺害了一個(gè)有才華的青年。公元500年畢學(xué)派經(jīng)歷的這場(chǎng)數(shù)學(xué)思想的矛盾沖突。數(shù)學(xué)史上稱之為第一次數(shù)學(xué)危機(jī)。第一次數(shù)學(xué)危機(jī)是數(shù)學(xué)史上的一次重要事件，以√2的發(fā)現(xiàn)為導(dǎo)火線，最終以無(wú)理數(shù)的定義出現(xiàn)為結(jié)束標(biāo)志。

另外說明了一些新的數(shù)學(xué)知識(shí)、內(nèi)容、理論、學(xué)科的發(fā)現(xiàn)不僅要付出自己的聰明才智，甚至要

付出生命的代價(jià)，所以先輩門說√2是一個(gè)充滿著血腥味的數(shù)。希巴斯為√2 的誕生獻(xiàn)出了自己的寶貴的生命！ 在希巴斯首次發(fā)現(xiàn)了√2 以后，人們又陸陸續(xù)續(xù)發(fā)現(xiàn)了類似√2 的數(shù)，這些數(shù)就是我么們今天所學(xué)習(xí)的無(wú)理數(shù)。無(wú)理數(shù)的發(fā)現(xiàn)進(jìn)一步擴(kuò)充了數(shù)的范圍，使數(shù)學(xué)學(xué)科發(fā)展迎來(lái)了巨大的進(jìn)步！

這樣的結(jié)果既令人遺憾，也使人鼓舞。正是這些偉大先驅(qū)們的前赴后繼，才成就了西方的學(xué)術(shù)自由和探求真理的傳統(tǒng)，最終孕育出來(lái)以科學(xué)技術(shù)為主導(dǎo)的現(xiàn)代人類文明，使全體人類和整個(gè)世界為之受益！

（二）√2獨(dú)特應(yīng)用凸顯獨(dú)特魅力

古希臘人不會(huì)知道，2100多年后，中華文明發(fā)展到明朝，數(shù)學(xué)家朱載堉自制了雙排八十一檔的大算盤，把2的十二次開方算到了25位有效數(shù)字，強(qiáng)大的計(jì)算能力能給予無(wú)理數(shù)在數(shù)學(xué)家庭的位置。以此為基礎(chǔ)，朱載堉發(fā)明了十二平均律，將音樂與數(shù)字的聯(lián)系計(jì)算出更為精微的刻度，形成現(xiàn)代樂器制作的基礎(chǔ)。

為什么朱載堉會(huì)對(duì)2的開方那么癡迷？√2，在華夏文化中是重要的審美根基。這或許源于春秋末年，較畢達(dá)哥拉斯晚一些時(shí)候的墨子。彼時(shí)的墨子掌握著整個(gè)世界統(tǒng)一化的關(guān)鍵基礎(chǔ)----每次打開雙手就能看到----不是尺規(guī)，是十進(jìn)制。

相比較，古希臘的數(shù)字符號(hào)，不但不是十進(jìn)制，甚至不是位值制，無(wú)法作為數(shù)量符號(hào)來(lái)運(yùn)算。墨子正是華夏首個(gè)對(duì)數(shù)字的位值制進(jìn)行總結(jié)闡述的科學(xué)家，還有，在墨子的時(shí)代，已經(jīng)出現(xiàn)了九九乘法表。作為杰出的數(shù)學(xué)家、科學(xué)家和能工巧匠，不一定是墨子本人，但√2的審美基礎(chǔ)極有可能是他的流派所發(fā)現(xiàn)。這個(gè)審美基礎(chǔ)是每個(gè)華夏子民都知曉的概念：天圓地方。

中國(guó)古代匠人不操心，中國(guó)古代匠人用一個(gè)簡(jiǎn)單整數(shù)比來(lái)對(duì)付它：匠人有一句口訣叫方五斜七。什么意思呢？正方形邊長(zhǎng)如果是5，對(duì)角線約等于7。我們知道√2約等于414對(duì)不對(duì)，7除以5等于4——很接近了嘛。《營(yíng)造法式》的作者李誡嫌這個(gè)太粗糙了，怎么能這樣呢？他給了一個(gè)141：100，這下好多了，41，更接近了。這是中國(guó)匠人的智慧。

在王南的著作《規(guī)范方圓 天地之和》中揭示了這個(gè)秘密，也找到了很多古建筑實(shí)例，證明了1：√2的實(shí)際應(yīng)用。王南根據(jù)《營(yíng)造法式》里的圖文進(jìn)行研究，而《營(yíng)造法式》引用的是中國(guó)最古老的數(shù)學(xué)和天文學(xué)著作《周髀算經(jīng)》"萬(wàn)物周事而圓方用焉，大匠造制而規(guī)矩設(shè)焉"。周髀兩個(gè)字，意思就是天象蓋子、地象棋盤。

下面我們來(lái)看看這個(gè)形狀在中國(guó)古建筑當(dāng)中的運(yùn)用。我們還舉前面說的這兩個(gè)建筑：佛光寺大殿和應(yīng)縣木塔，來(lái)看√2比例是怎么在設(shè)計(jì)當(dāng)中運(yùn)用。

我們先看佛光寺大殿，唐朝建筑。如果以佛光寺大殿的總高為邊長(zhǎng)做一個(gè)正方形，再以它的對(duì)角線做一個(gè)弧線，剛好是它總寬的一半。大家看出來(lái)了嗎？我們還可以對(duì)稱地做這半邊。再做一個(gè)正方形，以對(duì)角線做一個(gè)弧線，就把這半邊也鋪滿了。句話說，如果總高是1，總寬是兩個(gè)√2，它的正立面是兩√2矩形。

我們?cè)賮?lái)看佛光寺大殿的平面。它的平面是一個(gè)回字型，在這個(gè)回字型當(dāng)中，最最重要的是中間這個(gè)核心空間，這里是供佛像的空間。這個(gè)形狀跟剛才一樣，又是兩個(gè)√2矩形組成。換句話說這個(gè)空間的形狀和正立面是一個(gè)相似形。

還沒完，我們來(lái)到佛光寺的核心，它的剖面圖，這時(shí)候我們已經(jīng)能看到大殿里供奉的所有佛像了。如果我們以中間這個(gè)最最重要的佛像的高度為邊長(zhǎng)做一個(gè)正方形，然后用圓方方圓圖做它的外接圓。這時(shí)候外接圓的直徑等于什么呢？等于它中央這個(gè)開間的寬度。

換句話說，如果佛像高是1，中央這個(gè)開間的寬度√2。建筑是為這個(gè)佛像量身定做的，而且它們之間符合√2比例。我們看一下計(jì)算機(jī)精確做圖的結(jié)果，這大概就是佛光寺大殿當(dāng)時(shí)設(shè)計(jì)的理念。

五臺(tái)山佛光寺東大殿設(shè)計(jì)理念分析圖

如果以這個(gè)黃色的正方形也就是佛像的高為1，那么中央開間的寬度√2。這個(gè)建筑的高度是4，然后它的寬是4√2。就像帕提農(nóng)神廟一樣，佛光寺身上從整體到局部甚至到它的塑像，都在反復(fù)地使用方圓之間的比例。很可惜帕提農(nóng)神廟里的神像已經(jīng)不在了，不知道西方人有沒有做到這一步的控制。

來(lái)到應(yīng)縣木塔。應(yīng)縣木塔的總高和它一層的寬度是個(gè)什么關(guān)系呢？寬度是1的話，總高是2√2?？偢吆鸵粚幼钪匾倪@個(gè)佛像的高度的關(guān)系是什么呢？佛像高是1，總高是6。他們一直是把建筑和佛像進(jìn)行了這種拴系。我把這種為佛像量身定做建筑的方法稱作度像構(gòu)屋。

大家還記得前面講過雅典帕提農(nóng)神廟的柱子是神廟的大長(zhǎng)腿，總高和柱高是黃金分割，那應(yīng)縣木塔怎么做這件事情呢？應(yīng)縣木塔是令總高和最頂層的立柱以下的高度成√2比例，所以在這件事情上中西方也算是異曲同工吧。

更有意思的事情在這兒。如果我們同時(shí)看應(yīng)縣木塔和佛光寺就會(huì)嚇一跳，原來(lái)應(yīng)縣木塔的高寬比和佛光寺正好是旋轉(zhuǎn)了90度。應(yīng)縣木塔的寬是1，高是2√2，佛光寺是高是1，寬是2√2。如果轉(zhuǎn)個(gè)90度，塔就變成殿了，殿就變成塔了。

無(wú)限重復(fù)的等比例效應(yīng)應(yīng)用于寺廟大殿、佛像的寬高比，就像佛法，須彌山藏于芥子。這樣一個(gè)無(wú)理數(shù)，引發(fā)了第一次數(shù)字危機(jī)，深藏于華夏的古建筑，如今在日常辦公環(huán)境隨處可見。雖然我們的認(rèn)知體系沒有能完全發(fā)掘其奧秘，但邏輯上對(duì)數(shù)字和比例的奇妙，已經(jīng)完全能形成共識(shí)。更先進(jìn)而統(tǒng)一的數(shù)字表達(dá)體系和運(yùn)算法則，無(wú)疑能幫助我們今天輕易超越畢達(dá)哥拉斯，不會(huì)對(duì)無(wú)理數(shù)視而不見。

應(yīng)縣木塔

其實(shí)《營(yíng)造法式》這本書里有答案。在配合“圓方方圓圖”這個(gè)插圖的文字當(dāng)中，《營(yíng)造法式》引了更古老的一本書《周髀算經(jīng)》的一段話?！吨荀滤憬?jīng)》是中國(guó)最古老的數(shù)學(xué)和天文學(xué)著作，這段話很重要：“萬(wàn)物周事而圓方用焉，大匠造制而規(guī)矩設(shè)焉?！?/p>

下面我們要看一看中國(guó)的天圓地方的這個(gè)傳統(tǒng)究竟有多久遠(yuǎn)。據(jù)天文考古學(xué)者馮時(shí)先生指出，早在5000年前新石器時(shí)代，在遼寧牛河梁紅山文化遺址里，神奇地發(fā)現(xiàn)了一組圜丘和方丘。這恐怕是中國(guó)最早的天壇和地壇。

遼寧牛河梁紅山文化遺址的圜丘和方丘

這個(gè)圜丘就很像我現(xiàn)在站的這個(gè)位置。但是它是由三層圓環(huán)組成的，這三層圓環(huán)的直徑之比居然神奇的是1：√2：2。就像剛才的獨(dú)樂寺觀音閣一樣，就像圓方方圓圖一樣，所以這件事情在中華民族的文化里可謂是源遠(yuǎn)流長(zhǎng)。

（三）A4紙的魔力

在日常生活中，我們經(jīng)常與 A4 紙打交道，這種紙的標(biāo)準(zhǔn)尺寸是：210毫米 × 297毫米，算一下它的長(zhǎng)寬比：297：210＝99：70≈ 414，

如果取兩張 A4 紙，沿著紙的長(zhǎng)邊把它們拼在一起，可以得到一張大紙，尺寸是：420毫米 × 297毫米，再算一下它的長(zhǎng)寬比：420：297≈ 414，大紙與小紙的長(zhǎng)寬比基本不變，而且都與 √2 相當(dāng)接近！這是否是巧合？

事實(shí)上，如果一張紙具有理想的長(zhǎng)寬比 √2：1，那么它會(huì)把自己的長(zhǎng)寬比 "遺傳" 給 "下一代"，具體來(lái)說就是：最初大長(zhǎng)方形紙的長(zhǎng)寬比是：√2：1，把這樣的大紙沿長(zhǎng)邊對(duì)折后，得到的小長(zhǎng)方形紙的長(zhǎng)寬比為：1：（√2 / 2），仍然為 √2 ：1，這樣的操作還可以重復(fù)多次，A 系列紙正是通過這種方式得到的。

在 A 系列紙中，原始紙成為 A0，它的尺寸規(guī)格是：1189毫米 × 841毫米，簡(jiǎn)單計(jì)算可得它的面積接近 1 平方米，同時(shí)長(zhǎng)寬比非常接近 √2：1，把 A0 紙沿長(zhǎng)邊對(duì)折裁開，于是得到 A1 紙，其尺寸規(guī)格是：841毫米 × 594毫米，對(duì) A1 紙進(jìn)行同樣操作，可以得到 A2 紙，其尺寸規(guī)格是：594毫米 × 420毫米，以此類推，即可得到 A 系列型號(hào)的紙A1 意味著在原始紙 A0 的基礎(chǔ)上對(duì)折了 1 次，A2 意味著在原始紙 A0 的基礎(chǔ)上對(duì)折了 2 次……，那么，選擇長(zhǎng)寬比為 √2：1 的紙?jiān)趯?shí)際中有什么好處呢？

簡(jiǎn)單來(lái)說，用具有這種性質(zhì)的紙張作備料，沒有剩余的碎紙邊，可避免浪費(fèi)，從而降低再生產(chǎn)的成本并提高工效。簡(jiǎn)單說將A4紙的寬進(jìn)行對(duì)折，它的寬和高的比例始終都是一個(gè)定值，也就是說，無(wú)論你如何將它的寬怎樣對(duì)折，它的比例都是不變的。也許，人生也是一樣，隨著時(shí)間的不斷折疊。無(wú)論我們跑多遠(yuǎn)，無(wú)論你在哪里，到頭來(lái)，你始終發(fā)現(xiàn)，一切仿佛就在原點(diǎn)。

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