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世界七大數(shù)學(xué)難題（21世紀(jì)的7個(gè)頂級(jí)數(shù)學(xué)難題）

圖片來(lái)源：Pixabay

21年前，克雷數(shù)學(xué)研究所發(fā)表了數(shù)學(xué)領(lǐng)域內(nèi)7個(gè)頂尖難題——“千禧年大獎(jiǎng)難題”。解答這些問(wèn)題將給基礎(chǔ)數(shù)學(xué)帶來(lái)不可忽視的全新見(jiàn)解，甚至可能通過(guò)密碼學(xué)等技術(shù)對(duì)現(xiàn)實(shí)世界產(chǎn)生影響。而如今，這些問(wèn)題只有1個(gè)得到了解決。

數(shù)學(xué)中的重大問(wèn)題通常不總會(huì)像其他科學(xué)領(lǐng)域的謎團(tuán)一樣能引起外界的興趣。“對(duì)于數(shù)學(xué)研究是什么樣子或它的意義是什么，許多人仍然困惑不已?！泵苄髮W(xué)的數(shù)學(xué)家Wei Ho說(shuō)。盡管人們經(jīng)常誤解她工作的性質(zhì)，但Ho說(shuō)這解釋起來(lái)可能并不難。“我在聚會(huì)上的閑聊話(huà)題總是關(guān)于橢圓曲線(xiàn)?！彼a(bǔ)充道。Ho經(jīng)常問(wèn)參加聚會(huì)的人：“你記得中學(xué)學(xué)過(guò)的拋物線(xiàn)和圓嗎？一旦你開(kāi)始創(chuàng)建三次方程，事情就會(huì)變得非常困難......關(guān)于它們有很多懸而未決的問(wèn)題?！?/p>

一個(gè)名為貝赫和斯維訥通-戴爾猜想（Birch and Swinnerton-Dyer conjecture）的著名未解之謎涉及橢圓曲線(xiàn)方程解的性質(zhì)，它是克雷數(shù)學(xué)研究所（Clay Mathematics Institute，CMI）創(chuàng)始科學(xué)顧問(wèn)委員會(huì)選定的七個(gè)千禧年大獎(jiǎng)難題之一，這些選出的問(wèn)題被該研究所描述為“數(shù)學(xué)家在千年之交正在努力解決的問(wèn)題中最難的一批”。2000年5月24日，在巴黎舉行的一次特別活動(dòng)中，該研究所宣布為首個(gè)證明或推翻任意一個(gè)難題的人提供100萬(wàn)美元的獎(jiǎng)勵(lì)。2018 年修訂的規(guī)則規(guī)定，結(jié)果必須被“全球數(shù)學(xué)界普遍接受”。

2000 年的公告為人們提供了一個(gè)價(jià)值700萬(wàn)美元的“理由”來(lái)解決這七個(gè)問(wèn)題：黎曼猜想、貝赫和斯維訥通-戴爾猜想、P/NP 問(wèn)題、楊-米爾斯存在性和質(zhì)量間隙、龐加萊猜想、 納維-斯托克斯存在性與光滑性，以及霍奇猜想。盡管聲勢(shì)浩大，還有金錢(qián)獎(jiǎng)勵(lì)，但21年后只有龐加萊猜想得到了證明。

意料之外的答案

2002-2003年，當(dāng)時(shí)在俄羅斯科學(xué)院斯特克洛夫數(shù)學(xué)研究所的俄羅斯數(shù)學(xué)家Grigori Perelman在網(wǎng)上分享了與他解答龐加萊猜想的相關(guān)工作。2010年，CMI宣布Perelman已經(jīng)證明了這個(gè)猜想，并在此過(guò)程中也解決了已故數(shù)學(xué)家William Thurston的相關(guān)幾何化猜想。不過(guò)，很少與公眾接觸的Perelman拒絕了獎(jiǎng)金。

據(jù)CMI所說(shuō)，龐加萊猜想聚焦于一個(gè)拓?fù)鋯?wèn)題，即三維球面是否“固有”被稱(chēng)為“單連通”的特性。這個(gè)特性意味著如果你用橡皮筋包裹球體的表面，在不扯斷或讓它從表面離開(kāi)的前提下，你可以將橡皮筋壓縮到一個(gè)點(diǎn)。二維球面或甜甜圈孔是單連通的，但甜甜圈（或其他帶有孔的形狀）不是。

二維球面上的環(huán)收緊到了一個(gè)點(diǎn)（圖片來(lái)源：Wikipedia）

牛津大學(xué)數(shù)學(xué)家兼CMI所長(zhǎng)Martin Bridson將Perelman的證明描述為“過(guò)去20年當(dāng)之無(wú)愧的重大事件之一”和“我們對(duì)三維空間的理解的思想桂冠”。這一發(fā)現(xiàn)可能會(huì)在未來(lái)帶來(lái)更多見(jiàn)解。“證明需要新的工具，這些工具本身正應(yīng)用于數(shù)學(xué)和物理學(xué)中，影響深遠(yuǎn)。”弗吉尼亞大學(xué)的數(shù)學(xué)家Ken Ono說(shuō)。

Ono一直專(zhuān)注于另一個(gè)千年問(wèn)題：黎曼猜想，它涉及質(zhì)數(shù)及其分布。2019 年，他和他的同事在《美國(guó)科學(xué)院院刊》上發(fā)表了一篇論文，重新審視了一種古老的，已經(jīng)被棄用的方法，并用它來(lái)尋求答案。在隨附的評(píng)論中，普林斯頓高等研究院的數(shù)學(xué)家、1974年數(shù)學(xué)最高榮譽(yù)菲爾茲獎(jiǎng)獲得者Enrico Bombieri將這項(xiàng)研究描述為“重大突破”。然而Ono表示，將他的工作描述為“即將證明黎曼猜想”是沒(méi)有根據(jù)的。

反面的進(jìn)展

到目前為止，“列出的問(wèn)題中僅有一個(gè)已經(jīng)得到解決”這一事實(shí)對(duì)專(zhuān)家來(lái)說(shuō)并不奇怪——畢竟，這些謎題已經(jīng)存在很長(zhǎng)時(shí)間，而且解答難度驚人。普林斯頓大學(xué)的數(shù)學(xué)家、2014年菲爾茲獎(jiǎng)獲得者M(jìn)anjul Bhargava表示，目前“已解決的問(wèn)題數(shù)量比我預(yù)期的要多一個(gè)”。Bhargava本人最近報(bào)告了多項(xiàng)與貝赫和斯維訥通-戴爾猜想相關(guān)的成果。在其中一項(xiàng)成果里，他說(shuō)他和他的同事“證明超過(guò) 66%的橢圓曲線(xiàn)滿(mǎn)足貝赫和斯維訥通-戴爾猜想”。

解答這些問(wèn)題都不容易，但有些問(wèn)題可能會(huì)格外棘手。P/NP問(wèn)題看起來(lái)很難解決，以致于得克薩斯大學(xué)奧斯汀分校的計(jì)算機(jī)科學(xué)家Scott Aaronson稱(chēng)其“顯示了我們的無(wú)知”。這個(gè)問(wèn)題涉及容易驗(yàn)證的問(wèn)題（一類(lèi)稱(chēng)為NP的查詢(xún)）是否也有易于找到的解（一類(lèi)稱(chēng)為P的問(wèn)題）。Aaronson撰寫(xiě)了大量關(guān)于 P/NP問(wèn)題的文章。在2009年發(fā)表的一篇論文中，他和高級(jí)研究所的數(shù)學(xué)家和計(jì)算機(jī)科學(xué)家、2021年阿貝爾獎(jiǎng)的獲得者之一Avi Wigderson展示了證明類(lèi)P與類(lèi)NP不同的新障礙。Aaronson和Wigderson發(fā)現(xiàn)的障礙是迄今為止發(fā)現(xiàn)的第三個(gè)。

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麻省理工學(xué)院的理論計(jì)算機(jī)科學(xué)家和數(shù)學(xué)家Virginia Vassilevska Williams說(shuō)：“在證明哪些方法行不通的方面，已經(jīng)取得了很多進(jìn)展……證明類(lèi)P不等于類(lèi)NP將是證明密碼學(xué)具有良好基礎(chǔ)的重要墊腳石，現(xiàn)在的密碼學(xué)基于未經(jīng)證實(shí)的假設(shè)?！逼渲兄痪褪?P 不等于 NP?！盀榱吮砻髂銦o(wú)法破解人們?cè)诂F(xiàn)代計(jì)算機(jī)中需要的加密協(xié)議，包括那些保護(hù)我們的金融和其他在線(xiàn)個(gè)人信息安全的協(xié)議，你至少需要證明 P不等于NP?！盫assilevska指出。

“如果讓我用數(shù)字說(shuō)明說(shuō)有多大把握，我會(huì)說(shuō)P不等于NP的機(jī)會(huì)有97%或98%。”Aaronson說(shuō)。

攀登珠峰

尋找“千禧年大獎(jiǎng)難題”的答案類(lèi)似于第一次嘗試攀登珠穆朗瑪峰，Ono表示：“在此過(guò)程中，有許多階梯，它們象征著取得的進(jìn)展。真正的問(wèn)題是：你能到達(dá)大本營(yíng)嗎？就算可以，你也知道你仍然離峰頂很遠(yuǎn)?！?/p>

對(duì)于諸如貝赫和斯維訥通-戴爾猜想猜想以及黎曼猜想等問(wèn)題，Ono說(shuō)：“顯然我們還在尼泊爾，”——登山的出發(fā)國(guó)之一——“但當(dāng)我們到達(dá)大本營(yíng)之后呢？”數(shù)學(xué)家可能仍然需要額外的“裝備”才能到達(dá)頂峰?！拔覀儸F(xiàn)在正試圖弄清楚數(shù)學(xué)中這些‘高科技工具’和‘氧氣瓶’會(huì)是什么，它們將幫助我們達(dá)到頂峰?！監(jiān)no說(shuō)。誰(shuí)知道在當(dāng)前的研究和這些問(wèn)題的可能解決方案之間會(huì)遇到多少障礙？“也許有 20 個(gè),也許我們比我們想象的更接近?！監(jiān)no說(shuō)。

盡管這些問(wèn)題很難，數(shù)學(xué)家對(duì)長(zhǎng)期前景持樂(lè)觀態(tài)度?！拔曳浅ＯＭ?，在我擔(dān)任克雷研究所的所長(zhǎng)時(shí)，其中一個(gè)問(wèn)題會(huì)得到解決。”Bridson說(shuō)。他指出 CMI 正在制定戰(zhàn)略，以最好的方式繼續(xù)引起對(duì)這些問(wèn)題的關(guān)注?！暗仨毘姓J(rèn)，它們是非常困難的問(wèn)題，可能會(huì)在我的余生中繼續(xù)影響數(shù)學(xué)卻沒(méi)有得到解決?！?/p>

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