想必現(xiàn)在有很多小伙伴對于如圖$1$，已知直線$l$垂直線段$AB$于點$B$，點$P$是直線$l$上異于點$B$的一個動點，線段$AP$繞點$P$順時針旋轉(zhuǎn)$90^{\circ}$得到線段$CP$，線段$BP$繞點$P$逆時針旋轉(zhuǎn)$90^{\circ}$得到線段$DP$，連結(jié)$AC$，$BD$，$CD$，$CD$與直線$l$交于點$E$，$AB=4$.$(1)$如圖$2($點$P$在點$B$上方時），過點$C$作直線$l$的垂線，垂足為$F$.①求證：$\triangle ABP$≌$\triangle PFC.$②求$PE$的長.$(2)$在點$P$的運動過程中，點$P$，$E$，$B$三點中，是否存在其中一點恰是另外兩點為端點的線段的中點，若存在，求出相應(yīng)$CD$的長，若不存在，說明相應(yīng)理由.","title_text":"如圖$1$，已知直線$l$垂直線段$AB$于點$B$，點$P$是直線$l$上異于點$B$的一個動點，線段$AP$繞點$P$順時針旋轉(zhuǎn)$90^{\circ}$得到線段$CP$，線段$BP$繞點$P$逆時針旋轉(zhuǎn)$90^{\circ}$得到線段$DP$，連結(jié)$AC$，$BD$，$CD$，$CD$與直線$l$交于點$E$，$AB=4$.$(1)$如圖$2($點$P$在點$B$上方時），過點$C$作直線$l$的垂線，垂足為$F$.①求證：$\triangle ABP$≌$\triangle PFC.$②求$PE$的長.$(2)$在點$P$的運動過程中，點$P$，$E$，$B$三點中，是否存在其中一點恰是另外兩點為端點的線段的中點，若存在，求出相應(yīng)$CD$的長，若不存在，說明相應(yīng)理由.方面的知識都比較想要了解，那么今天小好小編就為大家收集了一些關(guān)于如圖$1$，已知直線$l$垂直線段$AB$于點$B$，點$P$是直線$l$上異于點$B$的一個動點，線段$AP$繞點$P$順時針旋轉(zhuǎn)$90^{\circ}$得到線段$CP$，線段$BP$繞點$P$逆時針旋轉(zhuǎn)$90^{\circ}$得到線段$DP$，連結(jié)$AC$，$BD$，$CD$，$CD$與直線$l$交于點$E$，$AB=4$.$(1)$如圖$2($點$P$在點$B$上方時），過點$C$作直線$l$的垂線，垂足為$F$.①求證：$\triangle ABP$≌$\triangle PFC.$②求$PE$的長.$(2)$在點$P$的運動過程中，點$P$，$E$，$B$三點中，是否存在其中一點恰是另外兩點為端點的線段的中點，若存在，求出相應(yīng)$CD$的長，若不存在，說明相應(yīng)理由.","title_text":"如圖$1$，已知直線$l$垂直線段$AB$于點$B$，點$P$是直線$l$上異于點$B$的一個動點，線段$AP$繞點$P$順時針旋轉(zhuǎn)$90^{\circ}$得到線段$CP$，線段$BP$繞點$P$逆時針旋轉(zhuǎn)$90^{\circ}$得到線段$DP$，連結(jié)$AC$，$BD$，$CD$，$CD$與直線$l$交于點$E$，$AB=4$.$(1)$如圖$2($點$P$在點$B$上方時），過點$C$作直線$l$的垂線，垂足為$F$.①求證：$\triangle ABP$≌$\triangle PFC.$②求$PE$的長.$(2)$在點$P$的運動過程中，點$P$，$E$，$B$三點中，是否存在其中一點恰是另外兩點為端點的線段的中點，若存在，求出相應(yīng)$CD$的長，若不存在，說明相應(yīng)理由.方面的知識分享給大家，希望大家會喜歡哦。

1、$(1)$①證明：如圖$1$，$because angle ABP=angle APC=angle PFC=90^{circ}$，$therefore angle APB+angle PAB=90^{circ}$。

2、$angle APB+angle CPF=90^{circ}$，$therefore angle APB=angle CPF$，在$triangle APB$和$triangle PCF$中。

3、$left{begin{array}{l}{∠ABP=∠PFC}{∠APB=∠CPF}{AP=CP}end{array}right.$，$therefore triangle APB$≌$triangle PCFleft(AASright)$；②由①得：$triangle APB$≌$triangle PCF$，$therefore BP=CF$。

4、$PF=AB=4$，$because PD=BP$，$therefore CF=PD$。

5、$because angle CFE=angle DPE=90^{circ}$，$angle CEF=angle DEP$，$therefore triangle PED$≌$triangle FECleft(AASright)$。

6、$therefore PE=EF=frac{1}{2}PF=2$；$(2)$如圖$1$，當(dāng)$P$是$BE$的中點，$PB=PE=2$。

7、$therefore PD=PB=2$，$therefore DE=sqrt{P{D}^{2}+P{E}^{2}}=2sqrt{2}$，由②得$,triangle PED$≌$triangle FEC$。

8、$therefore CE=DE=2sqrt{2}$，$therefore CD=CE+DE=4sqrt{2}$，如圖$2$。

9、當(dāng)$B$是$PE$的中點時，由②知：$PE=EF=2$，$therefore BE=PB=frac{1}{2}PE=1$。

10、$therefore PD=PB=1$，在$Rttriangle PED$中，$DE=sqrt{P{D}^{2}+P{E}^{2}}=sqrt{5}$。

11、$therefore CD=2DE=2sqrt{5}$，如圖$3$，當(dāng)$E$是$PB$的中點。

12、此時$F$點$B$點重合，$therefore DP=BP=BC=CF=4$，$therefore CE=DE=sqrt{{4}^{2}+{2}^{2}}=2sqrt{5}$。

13、$therefore CD=2CE=4sqrt{5}$，綜上所述：$CD$的長為$4sqrt{2}$或$2sqrt{5}$或$4sqrt{5}$.。

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