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1、費馬小定理
費馬小定理是數(shù)論中的一個重要定理,其內(nèi)容為:
假如p是質(zhì)數(shù),且(a,p)=1,那么 a^(p-1) ≡1（mod p）
費馬小定理的歷史
皮埃爾•德•費馬于1636年發(fā)現(xiàn)了這個定理,在一封1640年10月18日的信中他第一次使用了上面的書寫方式.在他的信中費馬還提出a是一個質(zhì)數(shù)的要求,但是這個要求實際上是不存在的.與費馬小定理相關(guān)的有一個中國猜想,這個猜想是中國數(shù)學(xué)家提出來的,其內(nèi)容為：當(dāng)且僅當(dāng)2^(p-1)≡1(mod p),p是一個質(zhì)數(shù).
假如p是一個質(zhì)數(shù)的話,則2^(p-1)≡1(mod p)成立（這是費馬小定理的一個特殊情況）是對的.但反過來,假如2^(p-1)≡1(mod p)成立那么p是一個質(zhì)數(shù)是不成立的（比如341符合上述條件但不是一個質(zhì)數(shù)）.因此整個來說這個猜想是錯誤的.一般認為中國數(shù)學(xué)家在費馬前2000年的時候就已經(jīng)認識中國猜測了,但也有人認為實際上中國猜測是1872年提出的,認為它早就為人所知是出于一個誤解.
費馬小定理的證明
一、準(zhǔn)備知識：
引理1．剩余系定理2
若a,b,c為任意3個整數(shù),m為正整數(shù),且(m,c)=1,則當(dāng)ac≡bc(modm)時,有a≡b(modm)
證明：ac≡bc(mod m)可得ac–bc≡0(mod m)可得(a-b)c≡0(mod m)因為(m,c)=1即m,c互質(zhì),c可以約去,a–b≡0(mod m)可得a≡b(mod m)
引理2．剩余系定理5
若m為整數(shù)且m>1,a,a,a,a,…a為m個整數(shù),若在這m個數(shù)中任取2個整數(shù)對m不同余,則這m個整數(shù)對m構(gòu)成完全剩余系.
證明：構(gòu)造m的完全剩余系（0,1,2,…m-1）,所有的整數(shù)必然這些整數(shù)中的1個對模m同余.取r=0,r=1,r=2,r=3,…r=i-1,1。

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