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1、應(yīng)用
1．函數(shù)的單調(diào)性
　　(1)利用導(dǎo)數(shù)的符號(hào)判斷函數(shù)的增減性 　　利用導(dǎo)數(shù)的符號(hào)判斷函數(shù)的增減性,這是導(dǎo)數(shù)幾何意義在研究曲線變化規(guī)律時(shí)的一個(gè)應(yīng)用,它充分體現(xiàn)了數(shù)形結(jié)合的思想． 　　一般地,在某個(gè)區(qū)間(a,b)內(nèi),如果f'(x)>0,那么函數(shù)y=f(x)在這個(gè)區(qū)間內(nèi)單調(diào)遞增；如果f'(x)0是f(x)在此區(qū)間上為增函數(shù)的充分條件,而不是必要條件,如f(x)=x3在R內(nèi)是增函數(shù),但x=0時(shí)f'(x)=0.也就是說(shuō),如果已知f(x)為增函數(shù),解題時(shí)就必須寫f'(x)≥0. 　　(2)求函數(shù)單調(diào)區(qū)間的步驟（1.定義最基礎(chǔ)求法2.復(fù)合函數(shù)單調(diào)性) 　　①確定f(x)的定義域 　?、谇髮?dǎo)數(shù) 　?、塾桑ɑ颍┙獬鱿鄳?yīng)的x的范圍．當(dāng)f'(x)>0時(shí),f(x)在相應(yīng)區(qū)間上是增函數(shù)；當(dāng)f'(x)0且a不等于1,x>0) ；熟記y=lnx,y'=1/x 　　5．正弦函數(shù)y=(sinx ）y'=cosx 　　6．余弦函數(shù)y=（cosx） y'=-sinx 　　7．正切函數(shù)y=(tanx） y'=1/(cosx)^2 　　8．余切函數(shù)y=（cotx） y'=-1/(sinx)^2 　　9．反正弦函數(shù)y=（arcsinx） y'=1/√1-x^2 　　10．反余弦函數(shù)y=（arccosx） y'=-1/√1-x^2 　　11．反正切函數(shù)y=（arctanx） y'=1/(1+x^2) 　　12．反余切函數(shù)y=（arccotx） y'=-1/(1+x^2) 　　為了便于記憶,有人整理出了以下口訣： 　　常為零,冪降次,對(duì)倒數(shù)（e為底時(shí)直接倒數(shù),a為底時(shí)乘以lna）,指不變（特別的,自然對(duì)數(shù)的指數(shù)函數(shù)完全不變,一般的指數(shù)函數(shù)須乘以lna）；正變余,余變正,切割方（切函數(shù)是相應(yīng)割函數(shù)（切函數(shù)的倒數(shù)）的平方）,割乘切,反分式 　　在推導(dǎo)的過(guò)程中有這幾個(gè)常見(jiàn)的公式需要用到： 　　1.y=f,y'=f'·g'(x)‘f'中g(shù)(x）看作整個(gè)變量,而g'(x)中把x看作變量’ 　　2．y=u/v,y'=(u'v-uv')/v^2 　　3． 原函數(shù)與反函數(shù)導(dǎo)數(shù)關(guān)系（由三角函數(shù)導(dǎo)數(shù)推反三角函數(shù)的）：y=f(x)的反函數(shù)是x=g(y）,則有y'=1/x' 　　證：1.顯而易見(jiàn),y=c是一條平行于x軸的直線,所以處處的切線都是平行于x的,故斜率為0.用導(dǎo)數(shù)的定義做也是一樣的：y=c,Δy=c-c=0,limΔx→0Δy/Δx=0. 　　2．這個(gè)的推導(dǎo)暫且不證,因?yàn)槿绻鶕?jù)導(dǎo)數(shù)的定義來(lái)推導(dǎo)的話就不能推廣到n為任意實(shí)數(shù)的一般情況,只能證其為整數(shù)Q.主要應(yīng)用導(dǎo)數(shù)定義與N次方差公式.在得到 y=e^x y'=e^x和y=lnx y'=1/x這兩個(gè)結(jié)果后能用復(fù)合函數(shù)的求導(dǎo)給予證明. 　　3．y=a^x, 　　Δy=a^(x+Δx)-a^x=a^x(a^Δx-1) 　　Δy/Δx=a^x(a^Δx-1)/Δx 　　如果直接令Δx→0,是不能導(dǎo)出導(dǎo)函數(shù)的,必須設(shè)一個(gè)輔助的函數(shù)β=a^Δx-1通過(guò)換元進(jìn)行計(jì)算.由設(shè)的輔助函數(shù)可以知道：Δx=loga(1+β). 　　所以(a^Δx-1)/Δx=β/loga(1+β)=1/loga(1+β)^1/β 　　顯然,當(dāng)Δx→0時(shí),β也是趨向于0的.而limβ→0(1+β)^1/β=e,所以limβ→01/loga(1+β)^1/β=1/logae=lna. 　　把這個(gè)結(jié)果代入limΔx→0Δy/Δx=limΔx→0a^x(a^Δx-1)/Δx后得到limΔx→0Δy/Δx=a^xlna. 　　可以知道,當(dāng)a=e時(shí)有y=e^x y'=e^x. 　　4．y=logax 　　Δy=loga(x+Δx)-logax=loga(x+Δx)/x=loga/x 　　Δy/Δx=loga/x 　　因?yàn)楫?dāng)Δx→0時(shí),Δx/x趨向于0而x/Δx趨向于∞,所以limΔx→0loga(1+Δx/x)^(x/Δx)=logae,所以有 　　limΔx→0Δy/Δx=logae/x. 　　也可以進(jìn)一步用換底公式 　　limΔx→0Δy/Δx=logae/x=lne/(x*lna)=1/(x*lna)=(x*lna)^(-1) 　　可以知道,當(dāng)a=e時(shí)有y=lnx y'=1/x. 　　這時(shí)可以進(jìn)行y=x^n y'=nx^(n-1)的推導(dǎo)了.因?yàn)閥=x^n,所以y=e^ln(x^n)=e^nlnx, 　　所以y'=e^nlnx·(nlnx)'=x^n·n/x=nx^(n-1). 　　5.y=sinx 　　Δy=sin(x+Δx)-sinx=2cos(x+Δx/2)sin(Δx/2) 　　Δy/Δx=2cos(x+Δx/2)sin(Δx/2)/Δx=cos(x+Δx/2)sin(Δx/2)/(Δx/2) 　　所以limΔx→0Δy/Δx=limΔx→0cos(x+Δx/2)·limΔx→0sin(Δx/2)/(Δx/2)=cosx 　　6．類似地,可以導(dǎo)出y=cosx y'=-sinx. 　　7．y=tanx=sinx/cosx 　　y'=/cos^2x=(cos^2x+sin^2x)/cos^2x=1/cos^2x 　　8．y=cotx=cosx/sinx 　　y'=/sin^2x=-1/sin^2x 　　9．y=arcsinx 　　x=siny 　　x'=cosy 　　y'=1/x'=1/cosy=1/√1-sin^2y=1/√1-x^2 　　10．y=arccosx 　　x=cosy 　　x'=-siny 　　y'=1/x'=-1/siny=-1/√1-cos^2y=-1/√1-x^2 　　11．y=arctanx 　　x=tany 　　x'=1/cos^2y 　　y'=1/x'=cos^2y=1/sec^2y=1/1+tan^2x=1/1+x^2 　　12．y=arccotx 　　x=coty 　　x'=-1/sin^2y 　　y'=1/x'=-sin^2y=-1/csc^2y=-1/1+cot^2y=-1/1+x^2 　　另外在對(duì)雙曲函數(shù)shx,chx,thx等以及反雙曲函數(shù)arshx,archx,arthx等和其他較復(fù)雜的復(fù)合函數(shù)求導(dǎo)時(shí)通過(guò)查閱導(dǎo)數(shù)表和運(yùn)用開(kāi)頭的公式與 　　4．y=u土v,y'=u'土v' 　　5．y=uv,y=u'v+uv' 　　均能較快捷地求得結(jié)果. 　　對(duì)于y=x^n y'=nx^(n-1) ,y=a^x y'=a^xlna 有更直接的求導(dǎo)方法. 　　y=x^n 　　由指數(shù)函數(shù)定義可知,y>0 　　等式兩邊取自然對(duì)數(shù) 　　ln y=n*ln x 　　等式兩邊對(duì)x求導(dǎo),注意y是y對(duì)x的復(fù)合函數(shù) 　　y' * (1/y)=n*(1/x) 　　y'=n*y/x=n* x^n / x=n * x ^ (n-1) 　　冪函數(shù)同理可證 　　導(dǎo)數(shù)說(shuō)白了它其實(shí)就是曲線一點(diǎn)斜率,函數(shù)值的變化率 　　上面說(shuō)的分母趨于零,這是當(dāng)然的了,但不要忘了分子也是可能趨于零的,所以兩者的比就有可能是某一個(gè)數(shù),如果分子趨于某一個(gè)數(shù),而不是零的話,那么比值會(huì)很大,可以認(rèn)為是無(wú)窮大,也就是我們所說(shuō)的導(dǎo)數(shù)不存在. 　　x/x,若這里讓X趨于零的話,分母是趨于零了,但它們的比值是1,所以極限為1. 　　建議先去搞懂什么是極限.極限是一個(gè)可望不可及的概念,可以很接近它,但永遠(yuǎn)到不了那個(gè)岸. 　　并且要認(rèn)識(shí)到導(dǎo)數(shù)是一個(gè)比值.。

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