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1、應用
1．函數的單調性
　　(1)利用導數的符號判斷函數的增減性 　　利用導數的符號判斷函數的增減性,這是導數幾何意義在研究曲線變化規(guī)律時的一個應用,它充分體現了數形結合的思想． 　　一般地,在某個區(qū)間(a,b)內,如果f'(x)>0,那么函數y=f(x)在這個區(qū)間內單調遞增；如果f'(x)0是f(x)在此區(qū)間上為增函數的充分條件,而不是必要條件,如f(x)=x3在R內是增函數,但x=0時f'(x)=0.也就是說,如果已知f(x)為增函數,解題時就必須寫f'(x)≥0. 　　(2)求函數單調區(qū)間的步驟（1.定義最基礎求法2.復合函數單調性) 　?、俅_定f(x)的定義域 　?、谇髮?　　③由（或）解出相應的x的范圍．當f'(x)>0時,f(x)在相應區(qū)間上是增函數；當f'(x)0且a不等于1,x>0) ；熟記y=lnx,y'=1/x 　　5．正弦函數y=(sinx ）y'=cosx 　　6．余弦函數y=（cosx） y'=-sinx 　　7．正切函數y=(tanx） y'=1/(cosx)^2 　　8．余切函數y=（cotx） y'=-1/(sinx)^2 　　9．反正弦函數y=（arcsinx） y'=1/√1-x^2 　　10．反余弦函數y=（arccosx） y'=-1/√1-x^2 　　11．反正切函數y=（arctanx） y'=1/(1+x^2) 　　12．反余切函數y=（arccotx） y'=-1/(1+x^2) 　　為了便于記憶,有人整理出了以下口訣： 　　常為零,冪降次,對倒數（e為底時直接倒數,a為底時乘以lna）,指不變（特別的,自然對數的指數函數完全不變,一般的指數函數須乘以lna）；正變余,余變正,切割方（切函數是相應割函數（切函數的倒數）的平方）,割乘切,反分式 　　在推導的過程中有這幾個常見的公式需要用到： 　　1.y=f,y'=f'·g'(x)‘f'中g(x）看作整個變量,而g'(x)中把x看作變量’ 　　2．y=u/v,y'=(u'v-uv')/v^2 　　3． 原函數與反函數導數關系（由三角函數導數推反三角函數的）：y=f(x)的反函數是x=g(y）,則有y'=1/x' 　　證：1.顯而易見,y=c是一條平行于x軸的直線,所以處處的切線都是平行于x的,故斜率為0.用導數的定義做也是一樣的：y=c,Δy=c-c=0,limΔx→0Δy/Δx=0. 　　2．這個的推導暫且不證,因為如果根據導數的定義來推導的話就不能推廣到n為任意實數的一般情況,只能證其為整數Q.主要應用導數定義與N次方差公式.在得到 y=e^x y'=e^x和y=lnx y'=1/x這兩個結果后能用復合函數的求導給予證明. 　　3．y=a^x, 　　Δy=a^(x+Δx)-a^x=a^x(a^Δx-1) 　　Δy/Δx=a^x(a^Δx-1)/Δx 　　如果直接令Δx→0,是不能導出導函數的,必須設一個輔助的函數β=a^Δx-1通過換元進行計算.由設的輔助函數可以知道：Δx=loga(1+β). 　　所以(a^Δx-1)/Δx=β/loga(1+β)=1/loga(1+β)^1/β 　　顯然,當Δx→0時,β也是趨向于0的.而limβ→0(1+β)^1/β=e,所以limβ→01/loga(1+β)^1/β=1/logae=lna. 　　把這個結果代入limΔx→0Δy/Δx=limΔx→0a^x(a^Δx-1)/Δx后得到limΔx→0Δy/Δx=a^xlna. 　　可以知道,當a=e時有y=e^x y'=e^x. 　　4．y=logax 　　Δy=loga(x+Δx)-logax=loga(x+Δx)/x=loga/x 　　Δy/Δx=loga/x 　　因為當Δx→0時,Δx/x趨向于0而x/Δx趨向于∞,所以limΔx→0loga(1+Δx/x)^(x/Δx)=logae,所以有 　　limΔx→0Δy/Δx=logae/x. 　　也可以進一步用換底公式 　　limΔx→0Δy/Δx=logae/x=lne/(x*lna)=1/(x*lna)=(x*lna)^(-1) 　　可以知道,當a=e時有y=lnx y'=1/x. 　　這時可以進行y=x^n y'=nx^(n-1)的推導了.因為y=x^n,所以y=e^ln(x^n)=e^nlnx, 　　所以y'=e^nlnx·(nlnx)'=x^n·n/x=nx^(n-1). 　　5.y=sinx 　　Δy=sin(x+Δx)-sinx=2cos(x+Δx/2)sin(Δx/2) 　　Δy/Δx=2cos(x+Δx/2)sin(Δx/2)/Δx=cos(x+Δx/2)sin(Δx/2)/(Δx/2) 　　所以limΔx→0Δy/Δx=limΔx→0cos(x+Δx/2)·limΔx→0sin(Δx/2)/(Δx/2)=cosx 　　6．類似地,可以導出y=cosx y'=-sinx. 　　7．y=tanx=sinx/cosx 　　y'=/cos^2x=(cos^2x+sin^2x)/cos^2x=1/cos^2x 　　8．y=cotx=cosx/sinx 　　y'=/sin^2x=-1/sin^2x 　　9．y=arcsinx 　　x=siny 　　x'=cosy 　　y'=1/x'=1/cosy=1/√1-sin^2y=1/√1-x^2 　　10．y=arccosx 　　x=cosy 　　x'=-siny 　　y'=1/x'=-1/siny=-1/√1-cos^2y=-1/√1-x^2 　　11．y=arctanx 　　x=tany 　　x'=1/cos^2y 　　y'=1/x'=cos^2y=1/sec^2y=1/1+tan^2x=1/1+x^2 　　12．y=arccotx 　　x=coty 　　x'=-1/sin^2y 　　y'=1/x'=-sin^2y=-1/csc^2y=-1/1+cot^2y=-1/1+x^2 　　另外在對雙曲函數shx,chx,thx等以及反雙曲函數arshx,archx,arthx等和其他較復雜的復合函數求導時通過查閱導數表和運用開頭的公式與 　　4．y=u土v,y'=u'土v' 　　5．y=uv,y=u'v+uv' 　　均能較快捷地求得結果. 　　對于y=x^n y'=nx^(n-1) ,y=a^x y'=a^xlna 有更直接的求導方法. 　　y=x^n 　　由指數函數定義可知,y>0 　　等式兩邊取自然對數 　　ln y=n*ln x 　　等式兩邊對x求導,注意y是y對x的復合函數 　　y' * (1/y)=n*(1/x) 　　y'=n*y/x=n* x^n / x=n * x ^ (n-1) 　　冪函數同理可證 　　導數說白了它其實就是曲線一點斜率,函數值的變化率 　　上面說的分母趨于零,這是當然的了,但不要忘了分子也是可能趨于零的,所以兩者的比就有可能是某一個數,如果分子趨于某一個數,而不是零的話,那么比值會很大,可以認為是無窮大,也就是我們所說的導數不存在. 　　x/x,若這里讓X趨于零的話,分母是趨于零了,但它們的比值是1,所以極限為1. 　　建議先去搞懂什么是極限.極限是一個可望不可及的概念,可以很接近它,但永遠到不了那個岸. 　　并且要認識到導數是一個比值.。

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