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1、法向量是空間解析幾何的一個(gè)概念,垂直于平面的直線(xiàn)所表示的向量為該平面的法向量.由于空間內(nèi)有無(wú)數(shù)個(gè)直線(xiàn)垂直于已知平面,而且每條直線(xiàn)可以存在不同的法向量；因此一個(gè)平面都存在無(wú)數(shù)個(gè)法向量,但是這些法向量之間相互平行.從理論上述,空間零向量是任何平面的法向量,但是由于零向量不能表示平面的信息.一般不選擇零向量為平面的法向量.
　　如果已知直線(xiàn)與平面垂直,可以取已知直線(xiàn)的兩點(diǎn)構(gòu)成的向量作為法向量；如果不存在這樣的直線(xiàn),可用設(shè)元法求一個(gè)平面的法向量；步驟如下：首先設(shè)平面的法向量m(x,y,z),然后尋找平面內(nèi)任意兩個(gè)不共線(xiàn)的向量AB(x1,y1,z1)和CD(x2,y2,z2).由于平面法向量垂直于平面內(nèi)所有的向量,因此得到x*x1+y*y1+z*z1=0和x*x2+y*y2+z*z2=0.由于上面解法存在三個(gè)未知數(shù)兩個(gè)方程(不能通過(guò)增加新的向量和方程求解,因?yàn)槠渌匠毯蜕鲜鰞蓚€(gè)方程是等價(jià)的),無(wú)法得到唯一的法向量(因?yàn)榉ㄏ蛄坎皇俏ㄒ坏?.為了得到確定法向量,可采用固定z=1(也可以固定x=1或y=1)或者模等于1的方法(單位法向量),但是這步并不是必須的.因?yàn)榇_定法向量和不確定法向量的作用是一樣的.
　　法向量的主要應(yīng)用如下：
　　求斜線(xiàn)與平面所成的角：求出平面法向量和斜線(xiàn)的夾角,這個(gè)角和斜線(xiàn)與平面所成的角互余.利用這個(gè)原理也可以證明線(xiàn)面平行；
　　2、求二面角：求出兩個(gè)平面的法向量所成的角,這個(gè)角與二面角相等或互補(bǔ)；
　　3、點(diǎn)到面的距離： 任一斜線(xiàn)(平面為一點(diǎn)與平面內(nèi)的連線(xiàn))在法向量方向的射影；如點(diǎn)B到平面α的距離d=|BD·n|/|n|(等式右邊全為向量,D為平面內(nèi)任意一點(diǎn),向量n為平面α的法向量).利用這個(gè)原理也可以求異面直線(xiàn)的距離
　　法向量方法是高考數(shù)學(xué)可以采用的方法之一,他的優(yōu)點(diǎn)在于思路簡(jiǎn)單,容易操作.只要能夠建立出直角坐標(biāo)系,都可以寫(xiě)出最后答案.缺點(diǎn)在于同一般立體幾何方法相比,其計(jì)算量巨大,特別是在計(jì)算二面角的時(shí)候.
　?。ㄒ唬┲本€(xiàn) 的方向向量和平面 的法向量分別為 ,則直線(xiàn) 和平面 所成的角 等于向量 所成的銳角（若所成的角為鈍角,則為其補(bǔ)角）的余角,即 .
　　例題
　　(2003全國(guó)（理）18題) 如圖,直三棱柱中,底面是等腰直角三角形, ,側(cè)棱,分別是與的中點(diǎn),點(diǎn)在平面上的射影是的重心,
　　（Ⅰ）求與平面所成角的大?。ńY(jié)果用反三角函數(shù)值表示）；
　　（Ⅱ）求點(diǎn)到平面的距離.
　?。á瘢┮詾樽鴺?biāo)原點(diǎn),建立如圖所示的坐標(biāo)系,
　　設(shè),則, , ,
　　, , ,
　　∴ , ,
　　∴ , ,
　　由 得, ,
　　∴ , , ,設(shè)平面的法向量為 ,則 , ,由, 得,
　　,令 得, ,
　　∴平面 的一個(gè)法向量為 ,
　　∴ 與的夾角的余弦值是 ,
　　∴ 與平面所成角為 .
　　當(dāng)直線(xiàn)與平面平行時(shí),直線(xiàn)與平面所成的角為,此時(shí)直線(xiàn)的方向向量與平面的法向量垂直,我們可利用這一特征來(lái)證明直線(xiàn)與平面平行.
　?。ǘ┤绻辉谄矫鎯?nèi)一條直線(xiàn)與平面的一個(gè)法向量垂直,那么這條直線(xiàn)和這個(gè)平面平行.
　　例題
　?。?004年高考湖南（理）19題）如圖,在底面是菱形的四棱錐中, , ,點(diǎn)在上,且 ,
　?。↖）證明： ；
　?。↖I）求以為棱, 與為面的二面角的大??；
　?。á螅┰诶馍鲜欠翊嬖谝稽c(diǎn),使?證明你的結(jié)論.
　　（Ⅲ）以為坐標(biāo)原點(diǎn),直線(xiàn)分別為軸、軸,過(guò)點(diǎn)垂直平面的直線(xiàn)為軸,建立空間直角坐標(biāo)系（如圖）,由題設(shè)條件,相關(guān)各點(diǎn)的坐標(biāo)分別為, ,
　　∴ , ,
　　設(shè)平面的法向量為,則由題意可知, ,
　　由 得,
　　∴ 令得, ,
　　∴平面的一個(gè)法向量為
　　設(shè)點(diǎn)是棱上的點(diǎn),則
　　,
　　由 得,
　　∴ , ∴當(dāng)是棱的中點(diǎn)時(shí), .
　　同樣,當(dāng)直線(xiàn)與平面垂直時(shí),直線(xiàn)與平面所成的角為,此時(shí)直線(xiàn)的方向向量與平面的法向量平行,我們可利用這一特征來(lái)證明直線(xiàn)與平面垂直.
　?。ㄈ┰O(shè)二面角的兩個(gè)半平面和的法向量分別為,設(shè)二面角的大小為,則二面角的平面角與兩法向量所成的角相等或互補(bǔ),當(dāng)二面角的銳角時(shí), ；當(dāng)二面角為鈍角時(shí), .
　　例題
　　2004年高考湖南（理）19題：
　?。á颍┯深}意可知, , ,
　　∵ ∴ 為平面的一個(gè)法向量,
　　設(shè)平面的法向量為 ,則由題意可知, ,
　　由 得,
　　∴ 令 得, ,
　　∴平面的一個(gè)法向量為,
　　∴向量與夾角的余弦值是 , ∴ ,
　　由題意可知,以為棱,與為面的二面角是銳角,
　　∴所求二面角的大小為 .
　　我們知道當(dāng)兩個(gè)平面的法向量互相垂直時(shí),兩個(gè)平面所成的二面角為直角,此時(shí)兩個(gè)平面垂直,我們可用這一特征來(lái)證明兩個(gè)平面垂直.
　　（四）設(shè)兩個(gè)平面和的法向量分別為,若,則這兩個(gè)平面垂直.
　　例題
　?。?996年全國(guó)（文）23題）在正三棱柱中, , 分別是上的點(diǎn),且 ,求證：平面平面 .
　　證明：以為坐標(biāo)原點(diǎn),建立如圖所示的坐標(biāo)系,
　　則 , , , ,
　　∴ , ,
　　設(shè)平面的法向量為 ,則由題意可知,
　　由 得,
　　∴ 令得, ,
　　∴平面的一個(gè)法向量為 ,
　　由題意可知,平面的一個(gè)法向量為
　　∴ ∴平面平面
　?。ㄎ澹┰O(shè)平面的法向量為,是平面外一點(diǎn), 是平面內(nèi)一點(diǎn),則點(diǎn)到平面的距離等于在法向量上的投影的絕對(duì)值,即 .
　　我們?cè)賮?lái)看2003年全國(guó)（理）18題：
　?。á颍┰O(shè) ,則 , , , ,
　　∴ , ,
　　設(shè)平面 的法向量為 ,則 , ,
　　由 , 得,
　　,令 得, ,
　　∴平面的一個(gè)法向量為 ,而 ,
　　∴點(diǎn) 到平面的距離 .
　　我們知道直線(xiàn)與平面、兩個(gè)平面的距離都?xì)w結(jié)為點(diǎn)到平面的距離,故此法同樣可以解決直線(xiàn)與平面、兩個(gè)平行平面的距離.
　?。┰O(shè)向量與兩異面直線(xiàn)都垂直（我們也把向量稱(chēng)為兩異面直線(xiàn)的法向量）,分別為異面直線(xiàn)上的點(diǎn),則兩異面直線(xiàn)的距離等于法向量上的投影的絕對(duì)值,即.
　　例題
　　（1999年全國(guó)（理）21題）如圖,已知正四棱柱中,點(diǎn)在棱上,截面 ,且面與底面所成的角為 ,求異面直線(xiàn)與之間的距離.
　　以為坐標(biāo)原點(diǎn),建立如圖所示的坐標(biāo)系 ,
　　連結(jié)交于 ,連結(jié) ,則就是
　　面 與底面所成的角的平面角,
　　∴= ,∴
　　又∵截面 ,為的中點(diǎn),
　　∴ 為的中點(diǎn),∴ ,
　　則 , , ,
　　∴ , ,
　　設(shè)向量 與兩異面直線(xiàn)都垂直,由 ,得,
　　∴ ,∴ ,
　　∴異面直線(xiàn)與之間的距離
　　前面介紹了利用法向量解決空間幾何的證明與計(jì)算問(wèn)題,實(shí)現(xiàn)了幾何問(wèn)題的代數(shù)化,將復(fù)雜的幾何證明轉(zhuǎn)化為代數(shù)運(yùn)算,從而避免了幾何作圖,減少了邏輯推理,降低了難度.但公式的應(yīng)用也有一定的局限性,一般地,在能建立空間直角坐標(biāo)系的情況下,利用法向量較為有效.。

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