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1、費(fèi)馬小定理
費(fèi)馬小定理是數(shù)論中的一個(gè)重要定理,其內(nèi)容為:
假如p是質(zhì)數(shù),且(a,p)=1,那么 a^(p-1) ≡1（mod p）
費(fèi)馬小定理的歷史
皮埃爾•德•費(fèi)馬于1636年發(fā)現(xiàn)了這個(gè)定理,在一封1640年10月18日的信中他第一次使用了上面的書寫方式.在他的信中費(fèi)馬還提出a是一個(gè)質(zhì)數(shù)的要求,但是這個(gè)要求實(shí)際上是不存在的.與費(fèi)馬小定理相關(guān)的有一個(gè)中國(guó)猜想,這個(gè)猜想是中國(guó)數(shù)學(xué)家提出來(lái)的,其內(nèi)容為：當(dāng)且僅當(dāng)2^(p-1)≡1(mod p),p是一個(gè)質(zhì)數(shù).
假如p是一個(gè)質(zhì)數(shù)的話,則2^(p-1)≡1(mod p)成立（這是費(fèi)馬小定理的一個(gè)特殊情況）是對(duì)的.但反過(guò)來(lái),假如2^(p-1)≡1(mod p)成立那么p是一個(gè)質(zhì)數(shù)是不成立的（比如341符合上述條件但不是一個(gè)質(zhì)數(shù)）.因此整個(gè)來(lái)說(shuō)這個(gè)猜想是錯(cuò)誤的.一般認(rèn)為中國(guó)數(shù)學(xué)家在費(fèi)馬前2000年的時(shí)候就已經(jīng)認(rèn)識(shí)中國(guó)猜測(cè)了,但也有人認(rèn)為實(shí)際上中國(guó)猜測(cè)是1872年提出的,認(rèn)為它早就為人所知是出于一個(gè)誤解.
費(fèi)馬小定理的證明
一、準(zhǔn)備知識(shí)：
引理1．剩余系定理2
若a,b,c為任意3個(gè)整數(shù),m為正整數(shù),且(m,c)=1,則當(dāng)ac≡bc(modm)時(shí),有a≡b(modm)
證明：ac≡bc(mod m)可得ac–bc≡0(mod m)可得(a-b)c≡0(mod m)因?yàn)?m,c)=1即m,c互質(zhì),c可以約去,a–b≡0(mod m)可得a≡b(mod m)
引理2．剩余系定理5
若m為整數(shù)且m>1,a,a,a,a,…a為m個(gè)整數(shù),若在這m個(gè)數(shù)中任取2個(gè)整數(shù)對(duì)m不同余,則這m個(gè)整數(shù)對(duì)m構(gòu)成完全剩余系.
證明：構(gòu)造m的完全剩余系（0,1,2,…m-1）,所有的整數(shù)必然這些整數(shù)中的1個(gè)對(duì)模m同余.取r=0,r=1,r=2,r=3,…r=i-1,1。

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