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1、反函數(shù)法? 當(dāng)函數(shù)的反函數(shù)存在時，則其反函數(shù)的定義域就是原函數(shù)的值域。? 例2求函數(shù)y=(x+1)/(x+2)的值域。? 點撥：先求出原函數(shù)的反函數(shù)，再求出其定義域。? 解：顯然函數(shù)y=(x+1)/(x+2)的反函數(shù)為:x=(1－2y)/（y－1）,其定義域為y≠1的實數(shù),故函數(shù)y的值域為｛y∣y≠1,y∈R｝。? 點評：利用反函數(shù)法求原函數(shù)的定義域的前提條件是原函數(shù)存在反函數(shù)。這種方法體現(xiàn)逆向思維的思想，是數(shù)學(xué)解題的重要方法之一。

2、配方法? 當(dāng)所給函數(shù)是二次函數(shù)或可化為二次函數(shù)的復(fù)合函數(shù)時,可以利用配方法求函數(shù)值域? 例3：求函數(shù)y=√(－x2+x+2)的值域。? 點撥：將被開方數(shù)配方成完全平方數(shù)，利用二次函數(shù)的最值求。? 解：由－x2+x+2≥0,可知函數(shù)的定義域為x∈[－1，2]。此時－x2+x+2=－（x－1/2）2＋9/4∈[0，9/4]? ∴0≤√－x2+x+2≤3/2,函數(shù)的值域是[0,3/2]? 點評：求函數(shù)的值域不但要重視對應(yīng)關(guān)系的應(yīng)用,而且要特別注意定義域?qū)χ涤虻闹萍s作用。配方法是數(shù)學(xué)的一種重要的思想方法。

3、判別式法? 若可化為關(guān)于某變量的二次方程的分式函數(shù)或無理函數(shù),可用判別式法求函數(shù)的值域。? 例4求函數(shù)y=(2x2－2x+3)/(x2－x+1)的值域。? 點撥：將原函數(shù)轉(zhuǎn)化為自變量的二次方程，應(yīng)用二次方程根的判別式，從而確定出原函數(shù)的值域。? 解：將上式化為（y－2）x2－(y－2)x+(y-3)=0???????? （＊）? 當(dāng)y≠2時,由Δ=(y－2)2－4（y－2）x+(y－3)≥0，解得：2＜x≤10/3? 當(dāng)y=2時,方程(＊)無解?！嗪瘮?shù)的值域為2＜y≤10/3。? 點評：把函數(shù)關(guān)系化為二次方程F(x,y)=0，由于方程有實數(shù)解，故其判別式為非負(fù)數(shù)，可求得函數(shù)的值域。常適應(yīng)于形如y=(ax2+bx+c)/(dx2+ex+f)及y=ax+b±√(cx2+dx+e)的函數(shù)。

4、最值法? 對于閉區(qū)間[a,b]上的連續(xù)函數(shù)y=f(x),可求出y=f(x)在區(qū)間[a,b]內(nèi)的極值,并與邊界值f(a).f(b)作比較,求出函數(shù)的最值,可得到函數(shù)y的值域。? 例5已知(2x2-x-3)/(3x2+x+1)≤0,且滿足x+y=1,求函數(shù)z=xy+3x的值域。? 點撥：根據(jù)已知條件求出自變量x的取值范圍，將目標(biāo)函數(shù)消元、配方，可求出函數(shù)的值域。? 解：∵3x2+x+1＞0，上述分式不等式與不等式2x2-x-3≤0同解，解之得－1≤x≤3/2，又x+y=1，將y=1-x代入z=xy+3x中，得z=-x2+4x(-1≤x≤3/2),? ∴z=-(x-2)2+4且x∈[-1,3/2],函數(shù)z在區(qū)間[-1,3/2]上連續(xù)，故只需比較邊界的大小。? 當(dāng)x=-1時，z=－5；當(dāng)x=3/2時，z=15/4。? ∴函數(shù)z的值域為｛z∣－5≤z≤15/4｝。? 點評：本題是將函數(shù)的值域問題轉(zhuǎn)化為函數(shù)的最值。對開區(qū)間，若存在最值，也可通過求出最值而獲得函數(shù)的值域。

5、圖象法? 通過觀察函數(shù)的圖象，運用數(shù)形結(jié)合的方法得到函數(shù)的值域。? 例6求函數(shù)y=∣x+1∣+√(x-2)2 的值域。? 點撥：根據(jù)絕對值的意義，去掉符號后轉(zhuǎn)化為分段函數(shù)，作出其圖象。? 解：原函數(shù)化為 －2x+1? (x≤1)???????? y= 3 (-1<x≤2)??????????? 2x-1(x>2)? 它的圖象如圖所示。? 顯然函數(shù)值y≥3,所以，函數(shù)值域[3，＋∞]。? 點評：分段函數(shù)應(yīng)注意函數(shù)的端點。利用函數(shù)的圖象求函數(shù)的值域，體現(xiàn)數(shù)形結(jié)合的思想。是解決問題的重要方法。? 求函數(shù)值域的方法較多，還適應(yīng)通過不等式法、函數(shù)的單調(diào)性、換元法等方法求函數(shù)的值域。

6、單調(diào)法? 利用函數(shù)在給定的區(qū)間上的單調(diào)遞增或單調(diào)遞減求值域。? 例1求函數(shù)y=4x－√1-3x(x≤1/3)的值域。? 點撥：由已知的函數(shù)是復(fù)合函數(shù)，即g(x)= －√1-3x,y=f(x)+g(x)，其定義域為x≤1/3，在此區(qū)間內(nèi)分別討論函數(shù)的增減性，從而確定函數(shù)的值域。? 解：設(shè)f(x)=4x,g(x)= －√1-3x ,(x≤1/3),易知它們在定義域內(nèi)為增函數(shù)，從而y=f(x)+g(x)= 4x－√1-3x?在定義域為x≤1/3上也為增函數(shù)，而且y≤f(1/3)+g(1/3)=4/3,因此，所求的函數(shù)值域為｛y|y≤4/3｝。? 點評：利用單調(diào)性求函數(shù)的值域，是在函數(shù)給定的區(qū)間上，或求出函數(shù)隱含的區(qū)間，結(jié)合函數(shù)的增減性，求出其函數(shù)在區(qū)間端點的函數(shù)值，進而可確定函數(shù)的值域。

7、換元法? 以新變量代替函數(shù)式中的某些量，使函數(shù)轉(zhuǎn)化為以新變量為自變量的函數(shù)形式，進而求出值域。? 例2求函數(shù)y=x-3+√2x+1 的值域。? 點撥：通過換元將原函數(shù)轉(zhuǎn)化為某個變量的二次函數(shù)，利用二次函數(shù)的最值，確定原函數(shù)的值域。? 解：設(shè)t=√2x+1 （t≥0）,則? x=1/2(t2-1)。? 于是? y=1/2(t2-1)-3+t=1/2(t+1)2-4≥1/2-4=-7/2.? 所以，原函數(shù)的值域為｛y|y≥－7/2｝。? 點評：將無理函數(shù)或二次型的函數(shù)轉(zhuǎn)化為二次函數(shù)，通過求出二次函數(shù)的最值，從而確定出原函數(shù)的值域。這種解題的方法體現(xiàn)換元、化歸的思想方法。它的應(yīng)用十分廣泛。

8、構(gòu)造法? 根據(jù)函數(shù)的結(jié)構(gòu)特征，賦予幾何圖形，數(shù)形結(jié)合。? 例3求函數(shù)y=√x2+4x+5+√x2-4x+8 的值域。? 點撥：將原函數(shù)變形，構(gòu)造平面圖形，由幾何知識，確定出函數(shù)的值域。? 解：原函數(shù)變形為f(x)=√(x+2)2+1+√(2-x)2+22? 作一個長為4、寬為3的矩形ABCD，再切割成12個單位正方形。設(shè)HK=x,則ek=2-x,KF=2+x,AK=√(2-x)2+22 ,KC=√(x+2)2+1 。? 由三角形三邊關(guān)系知，AK+KC≥AC=5。當(dāng)A、K、C三點共線時取等號。? ∴原函數(shù)的知域為｛y|y≥5｝。? 點評：對于形如函數(shù)y=√x2+a ±√(c-x)2+b(a,b,c均為正數(shù))，均可通過構(gòu)造幾何圖形，由幾何的性質(zhì)，直觀明了、方便簡捷。這是數(shù)形結(jié)合思想的體現(xiàn)。

9、比例法? 對于一類含條件的函數(shù)的值域的求法，可將條件轉(zhuǎn)化為比例式，代入目標(biāo)函數(shù)，進而求出原函數(shù)的值域。? 例4已知x,y∈R，且3x-4y-5=0,求函數(shù)z=x2+y2的值域。? 點撥：將條件方程3x-4y-5=0轉(zhuǎn)化為比例式，設(shè)置參數(shù)，代入原函數(shù)。? 解：由3x-4y-5=0變形得，(x3)/4=(y-1)/3=k(k為參數(shù))? ∴x=3+4k,y=1+3k,? ∴z=x2+y2=(3+4k)2+(14+3k)2=(5k+3)2+1。? 當(dāng)k=－3/5時，x=3/5,y=－4/5時，zmin=1。? 函數(shù)的值域為｛z|z≥1｝.? 點評：本題是多元函數(shù)關(guān)系，一般含有約束條件，將條件轉(zhuǎn)化為比例式，通過設(shè)參數(shù)，可將原函數(shù)轉(zhuǎn)化為單函數(shù)的形式，這種解題方法體現(xiàn)諸多思想方法，具有一定的創(chuàng)新意識。

10、利用多項式的除法? 例5求函數(shù)y=(3x+2)/(x+1)的值域。? 點撥：將原分式函數(shù)，利用長除法轉(zhuǎn)化為一個整式與一個分式之和。? 解：y=(3x+2)/(x+1)=3－1/(x+1)。? ∵1/(x+1)≠0，故y≠3。? ∴函數(shù)y的值域為y≠3的一切實數(shù)。? 點評：對于形如y=(ax+b)/(cx+d)的形式的函數(shù)均可利用這種方法。

11、不等式法? 例6求函數(shù)Y=3x/(3x+1)的值域。? 點撥：先求出原函數(shù)的反函數(shù)，根據(jù)自變量的取值范圍，構(gòu)造不等式。? 解：易求得原函數(shù)的反函數(shù)為y=log3[x/(1-x)],? 由對數(shù)函數(shù)的定義知? x/(1-x)＞0???????????? 1-x≠0? 解得，0＜x<1。? ∴函數(shù)的值域（0，1）。? 點評：考查函數(shù)自變量的取值范圍構(gòu)造不等式（組）或構(gòu)造重要不等式，求出函數(shù)定義域，進而求值域。不等式法是重要的解題工具，它的應(yīng)用非常廣泛。是數(shù)學(xué)解題的方法之一。

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