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1、一、 函數(shù)的定義
函數(shù)的傳統(tǒng)定義：
設(shè)在某變化過程中有兩個變量x、y,如果對于x在某一范圍內(nèi)的每一個確定的值,y都有唯一確定的值與它對應(yīng),那么就稱y是x的函數(shù),x叫做自變量.
我們將自變量x取值的集合叫做函數(shù)的定義域,和自變量x對應(yīng)的y的值叫做函數(shù)值,函數(shù)值的集合叫做函數(shù)的值域.
函數(shù)的近代定義：
設(shè)A,B都是非空的數(shù)的集合,f：x→y是從A到B的一個對應(yīng)法則,那么從A到B的映射f：A→B就叫做函數(shù),記作y=f(x),其中x∈A,y∈B,原象集合A叫做函數(shù)f(x)的定義域,象集合C叫做函數(shù)f(x)的值域,顯然有CB.
符號y=f(x)即是“y是x的函數(shù)”的數(shù)學(xué)表示,應(yīng)理解為：
x是自變量,它是法則所施加的對象；f是對應(yīng)法則,它可以是一個或幾個解析式,可以是圖象、表格,也可以是文字描述；y是自變量的函數(shù),當x為允許的某一具體值時,相應(yīng)的y值為與該自變量值對應(yīng)的函數(shù)值,當f用解析式表示時,則解析式為函數(shù)解析式.y=f(x)僅僅是函數(shù)符號,不是表示“y等于f與x的乘積”,f(x)也不一定是解析式,在研究函數(shù)時,除用符號f(x)外,還常用g(x),F(x),G(x)等符號來表示.
對函數(shù)概念的理解
函數(shù)的兩個定義本質(zhì)是一致的,只是敘述概念的出發(fā)點不同,傳統(tǒng)定義是從運動變化的觀點出發(fā),而近代定義是從集合、映射的觀點出發(fā).這樣,就不難得知函數(shù)實質(zhì)是從非空數(shù)集A到非空數(shù)集B的一個特殊的映射.
由函數(shù)的近代定義可知,函數(shù)概念含有三個要素：定義域A、值域C和對應(yīng)法則f.其中核心是對應(yīng)法則f,它是函數(shù)關(guān)系的本質(zhì)特征.y＝f（x）的意義是：y等于x在法則f下的對應(yīng)值,而f是“對應(yīng)”得以實現(xiàn)的方法和途徑,是聯(lián)系x與y的紐帶,所以是函數(shù)的核心.至于用什么字母表示自變量、因變量和對應(yīng)法則,這是無關(guān)緊要的.
函數(shù)的定義域（即原象集合）是自變量x的取值范圍,它是構(gòu)成函數(shù)的一個不可缺少的組成部分.當函數(shù)的定義域及從定義域到值域的對應(yīng)法則完全確定之后,函數(shù)的值域也就隨之確定了.因此,定義域和對應(yīng)法則為“y是x的函數(shù)”的兩個基本條件,缺一不可.只有當兩個函數(shù)的定義域和對應(yīng)法則都分別相同時,這兩個函數(shù)才是同一個函數(shù),這就是說：
1）定義域不同,兩個函數(shù)也就不同；
2）對應(yīng)法則不同,兩個函數(shù)也是不同的；
3）即使是定義域和值域都分別相同的兩個函數(shù),它們也不一定是同一函數(shù),因為函數(shù)的定義域和值域不能唯一地確定函數(shù)的對應(yīng)法則.
例如：函數(shù)y＝x＋1與y＝2x＋1,其定義域都是x∈R,值域都為y∈R.也就是說,這兩個函數(shù)的定義域和值域相同,但它們的對應(yīng)法則是不同的,因此不能說這兩個函數(shù)是同一個函數(shù).
定義域A,值域C以及從A到C的對應(yīng)法則f,稱為函數(shù)的三要素.由于值域可由定義域和對應(yīng)法則唯一確定.兩個函數(shù)當且僅當定義域與對應(yīng)法則分別相同時,才是同一函數(shù).
例如：在①y＝x與 ,② 與 ,③y＝x＋1與 ,④y＝x0與y＝1,⑤y＝｜x｜與 這五組函數(shù)中,只有⑤表示同一函數(shù).
f（x）與f（a）的區(qū)別與聯(lián)系
f（a）表示當x＝a時函數(shù)f（x）的值,是一個常量.而f（x）是自變量x的函數(shù),在一般情況下,它是一個變量,f（a）是f（x）的一個特殊值.如一次函數(shù)f（x）＝3x＋4,當x＝8時,f（8）＝3×8＋4＝28是一常數(shù).
當法則所施加的對象與解析式中表述的對象不一致時,該解析式不能正確施加法則.
比如f（x）＝x2＋1,左端是對x施加法則,右端也是關(guān)于x的解析式,這時此式是以x為自變量的函數(shù)的解析式；而對于f（x＋1）＝3x2＋2x＋1,左端表示對x＋1施加法則,右端是關(guān)于x的解析式,二者并不統(tǒng)一,這時此式既不是關(guān)于x的函數(shù)解析式,也不是關(guān)于x＋1的函數(shù)解析式.
函數(shù)的定義域：
定義：
原象的集合A叫做函數(shù)y＝f(x)的定義域,即自變量的允許值范圍.
當函數(shù)用解析式給出時,定義域就是使式子有意義的自變量的允許值的集合.
求定義域：
求定義域的三種基本方法：
一是依據(jù)函數(shù)解析式中所包含的運算（除法、開平方等）對自變量的制約要求,通過解不等式（組）求得定義域；
二是依據(jù)確定函數(shù)y＝f（x）的對應(yīng)法則f對作用對象的取值范圍的制約要求,通過解不等式（組）求得定義域；
三是根據(jù)問題的實際意義,規(guī)定自變量的取值范圍,求得定義域.
如果函數(shù)是由一些基本函數(shù)通過四則運算構(gòu)成的,那么它的定義域是使各個部分都有意義的x值組成的集合.對含參數(shù)的函數(shù)求定義域（或已知定義域,求字母參數(shù)的取值范圍）時,必須對參數(shù)的取值進行討論.
當函數(shù)由實際問題給出時,其定義域由實際問題確定.
函數(shù)的值域：
定義：
象的集合C（C B）叫做函數(shù)y＝f(x)的值域,即函數(shù)值的變化范圍.
求值域的基本方法：
依據(jù)各類基本函數(shù)的值域,通過不等式的變換,確定函數(shù)值的取值范圍,在這一過程中,充分利用函數(shù)圖像的直觀性,能有助于結(jié)論的得出和檢驗.從定義域出發(fā),利用函數(shù)的單調(diào)性,是探求函數(shù)值域的通法。

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