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  2012年廣東高考數(shù)學(xué)試題及答案(理科)

  2012年廣東高考數(shù)學(xué)試題及答案（理科）

  本試卷共4頁(yè)，21小題，滿分150分．考試用時(shí)120分鐘．

  一、選擇題：本大題共8小題，每小題5分，滿分40分，在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)是符合題目要求的．

  1．設(shè)i為虛數(shù)單位，則復(fù)數(shù)

  A．B．C．D．

  2．設(shè)集合，則

  A．B．C．D．

  3．若向量，則

  A．B．C．D．

  4．下列函數(shù)中，在區(qū)間上為增函數(shù)的是

  A．BC．D．

  5．已知變量滿足約束條件，則的最大值為

  A．12B．11C．3D．-1

  6．某幾何體的三視圖如圖1所示，它的體積為

  A．B．C．D．

  7．從個(gè)位數(shù)與十位數(shù)之和為奇數(shù)的兩位數(shù)中任取一個(gè)，其中個(gè)位數(shù)為0的概率是

  A．B．C．D．

  8．對(duì)任意兩個(gè)非零的平面向量，定義．若平面向量滿足，與的夾角，且和都在集合中，則

  A．B．C．D．

  二、填空題：本大題共7小題．考生作答6小題．每小題5分，滿分30分．

  （一）必做題（9～13題）

  9．不等式的解集為___________．

  10．的展開式中的系數(shù)為__________．（用數(shù)字作答）

  11．已知遞增的等差數(shù)列滿足，則________．

  12．曲線在點(diǎn)處的切線方程為__________．

  13．執(zhí)行如圖2所示的程序框圖，若輸入n的值為8，則輸出s的值為_______．

  （二）選做題（14、15題，考生只能從中選做一題）

  14．（坐標(biāo)系與參數(shù)方程選做題）在平面直角坐標(biāo)系中中，曲線和曲線的

  參數(shù)方程分別為（為參數(shù)）和（為參數(shù)），則曲線和曲線的交點(diǎn)坐標(biāo)為．

  15．（幾何證明選講選做題）如圖3，圓的半徑為1，A，B，C是圓上三點(diǎn)，且滿足，過點(diǎn)A做圓的切線與OC的延長(zhǎng)線交與點(diǎn)P，則PA=．

  三、解答題：本大題共6小題，滿分80分．解答須寫出文字說明、證明過程和演算步驟．

  16．（本小題滿分12分）

  已知函數(shù)（其中）的最小正周期為．

  （1）求的值；

  （2）設(shè)，求的值．

  17．（本小題滿分13分）

  某班50位學(xué)生期中考試數(shù)學(xué)成績(jī)的頻率分布直方圖如圖4所示，其中成績(jī)分組區(qū)間是：

  [40,50),[50,60),[60,70),[70,80),[80,90),[90,100],

  (1)求圖中x的值;

  (2)從成績(jī)不低于80分的學(xué)生中隨機(jī)選取2人，2人中成績(jī)?cè)?0分以上（含90分）的人數(shù)記為，求的數(shù)學(xué)期望．

  18．（本小題滿分13分）

  如圖5所示，在四棱錐中，底面為矩形，平面，點(diǎn)在線段上，平面．

  （1）證明：平面；

  （2）若，求二面角的正切值．

  19．（本小題滿分14分）

  設(shè)數(shù)列的前項(xiàng)和為，滿足，且成等差數(shù)列．

  （1）求的值；

  （2）求數(shù)列的通項(xiàng)公式；

  （3）證明：對(duì)一切正整數(shù)，有．

  20．（本小題滿分14分）

  在平面直角坐標(biāo)系xOy中，已知橢圓C:的離心率，且橢圓C上的點(diǎn)到點(diǎn)Q(0,2)的距離的最大值為3．

  （1）求橢圓C的方程

  （2）在橢圓C上，是否存在點(diǎn)，使得直線與圓相交于不同的兩點(diǎn)A、B，且的面積最大？若存在，求出點(diǎn)M的坐標(biāo)及對(duì)應(yīng)的的面積；若不存在，請(qǐng)說明理由．

  ）

  21．（本小題滿分14分）

  設(shè)，集合，．

  （1）求集合D（用區(qū)間表示）；

  （2）求函數(shù)在D內(nèi)的極值點(diǎn)．

  參考答案

  選擇題答案：1-8：DCAABCDC

  填空題答案：

  9.

  10.20

  11.

  12.

  13.8

  14.

  15.

  解答題答案

  16.

  （1）

  （2）代入得

  ∵

  ∴

  ∴

  17.

  （1）由得

  （2）由題意知道：不低于80分的學(xué)生有12人，90分以上的學(xué)生有3人

  隨機(jī)變量的可能取值有0,1,2

  ∴

  18.

  （1）∵

  ∴

  ∵

  ∴

  ∴

  （2）設(shè)AC與BD交點(diǎn)為O，連

  ∵

  ∴

  又∵

  ∴

  ∴

  ∴

  ∴為二面角的平面角

  ∵

  ∴

  ∴

  ∴

  在，

  ∴

  ∴二面角的平面角的正切值為3

  19.

  （1）在中

  令得：

  令得：

  解得：，

  又

  解得

  （2）由

  得

  又也滿足

  所以成立

  ∴

  ∴

  ∴

  （3）

  （法一）∵

  ∴

  ∴

  （法二）∵

  ∴

  當(dāng)時(shí)，

  ………

  累乘得：

  ∴

  20.

  （1）由得，橢圓方程為

  橢圓上的點(diǎn)到點(diǎn)Q的距離

  當(dāng)①即,得

  當(dāng)②即,得（舍）

  ∴

  ∴橢圓方程為

  （2）

  當(dāng)，取最大值，

  點(diǎn)O到直線距離

  ∴

  又∵

  解得：

  所以點(diǎn)M的坐標(biāo)為

  的面積為

  21.

  （1）記

  ①當(dāng)，即，

  ②當(dāng)，

  ③當(dāng)，

  （2）由得

  ①當(dāng)，

  ②當(dāng)，∵

  ∴

  ∴

  ③當(dāng)，則

  又∵

  ∴

本文到此結(jié)束，希望對(duì)大家有所幫助。

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