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如圖四棱錐$P-ABCD$的底面是邊長為$2$的菱形$\angle(BAD=60^{\circ}$$\triangle PAD$是等邊三角形且$PB=\sqrt{6}$$M$是棱$PC$上除$P$$C$的任意一點且$\dfrac{PM}{PC}=\lambda$（1）當(dāng)$\lambda =\dfrac{1}{3}$時求證平面$BDM\bot $平面$ABCD$（2）平面$BDM$將四棱錐分成兩部分當(dāng)$\lambda =\dfrac{1}{2}$求兩部分體積之比.","title_text":"如圖四棱錐$

2022-08-01 17:40:05 科技 來源：
導(dǎo)讀 想必現(xiàn)在有很多小伙伴對于如圖，四棱錐$P-ABCD$的底面是邊長為$2$的菱形，$ angle BAD=60^{ circ}$，$ triangle PAD$是等邊三角形，且$P

想必現(xiàn)在有很多小伙伴對于如圖，四棱錐$P-ABCD$的底面是邊長為$2$的菱形，$\angle BAD=60^{\circ}$，$\triangle PAD$是等邊三角形，且$PB=\sqrt{6}$，$M$是棱$PC$上除$P$、$C$的任意一點，且$\dfrac{PM}{PC}=\lambda$（1）當(dāng)$\lambda =\dfrac{1}{3}$時，求證：平面$BDM\bot $平面$ABCD$（2）平面$BDM$將四棱錐分成兩部分，當(dāng)$\lambda =\dfrac{1}{2}$，求兩部分體積之比.","title_text":"如圖，四棱錐$P-ABCD$的底面是邊長為$2$的菱形，$\angle BAD=60^{\circ}$，$\triangle PAD$是等邊三角形，且$PB=\sqrt{6}$，$M$是棱$PC$上除$P$、$C$的任意一點，且$\dfrac{PM}{PC}=\lambda$（1）當(dāng)$\lambda =\dfrac{1}{3}$時，求證：平面$BDM\bot $平面$ABCD$（2）平面$BDM$將四棱錐分成兩部分，當(dāng)$\lambda =\dfrac{1}{2}$，求兩部分體積之比.方面的知識都比較想要了解，那么今天小好小編就為大家收集了一些關(guān)于如圖，四棱錐$P-ABCD$的底面是邊長為$2$的菱形，$\angle BAD=60^{\circ}$，$\triangle PAD$是等邊三角形，且$PB=\sqrt{6}$，$M$是棱$PC$上除$P$、$C$的任意一點，且$\dfrac{PM}{PC}=\lambda$（1）當(dāng)$\lambda =\dfrac{1}{3}$時，求證：平面$BDM\bot $平面$ABCD$（2）平面$BDM$將四棱錐分成兩部分，當(dāng)$\lambda =\dfrac{1}{2}$，求兩部分體積之比.","title_text":"如圖，四棱錐$P-ABCD$的底面是邊長為$2$的菱形，$\angle BAD=60^{\circ}$，$\triangle PAD$是等邊三角形，且$PB=\sqrt{6}$，$M$是棱$PC$上除$P$、$C$的任意一點，且$\dfrac{PM}{PC}=\lambda$（1）當(dāng)$\lambda =\dfrac{1}{3}$時，求證：平面$BDM\bot $平面$ABCD$（2）平面$BDM$將四棱錐分成兩部分，當(dāng)$\lambda =\dfrac{1}{2}$，求兩部分體積之比.方面的知識分享給大家，希望大家會喜歡哦。

1、$left(1right)$證明：設(shè)$AD$中點為$O$，連結(jié)$PO$、$BO$、連$BD$與$OC$交于$Q$點，則$PObot AD$，且$PO=sqrt{3}$，

2、由已知，$triangle ABD$為等邊三角形，$therefore BO=sqrt{3}$，在$triangle POB$中，

3、$because PO=BO=sqrt{3}$，$PB=sqrt{6}$，

4、$therefore PO^{2}+BO^{2}=PB^{2}$，

5、$therefore PObot BO$，則$PObot $平面$ABCD$，連結(jié)$MQ$，

6、$because OD$∥$BC,therefore triangle BQC$∽$triangle OQD,$則$dfrac{OQ}{QC}=dfrac{OD}{BC}=dfrac{1}{2}$，

7、當(dāng)$lambda =dfrac{1}{3}$時，$dfrac{PM}{MC}=dfrac{1}{2}$，

8、$therefore dfrac{OQ}{QC}=dfrac{PM}{MC}$，則$PO$∥$MQ$，

9、$therefore MQbot $平面$ABCD$，又$MQsubset $平面$BDM$，

10、$therefore $平面$BDMbot $平面$ABCD$；

11、$left(2right) $當(dāng)$lambda =dfrac{1}{2}$時，$M$是$PC$的中點，$P$到平面$ABCD$距離是$M$到平面$BDC$的距離的$2$倍，

12、又$S_{ABCD}=2S_{triangle BCD}$，$therefore V_{P-ABCD}=4V_{M-BDC}$，

13、則平面$BDM$將四棱錐分成的上下兩部分體積為$3:1$.

本文到此結(jié)束，希望對大家有所幫助。

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