目前大家應該是對數(shù)學悖論（邏輯的極限與數(shù)學的困境）比較感興趣的，所以今天好房網(wǎng)小編CC就來為大家整理了一些關于數(shù)學悖論（邏輯的極限與數(shù)學的困境）方面的相關知識來分享給大家，希望大家會喜歡哦。

數(shù)學悖論（邏輯的極限與數(shù)學的困境）

為什么自亞里士多德以來的25個世紀里，直覺沒有得到像邏輯那樣多的關注？直覺是難以捉摸的，難以定義和量化，有時還具有欺騙性。事實上，甚至還有不同種類的直覺。亞里士多德認為，直覺是照亮黑暗的燈塔。然而，在黑暗中的大多數(shù)時間，它也像一個探照燈指向錯誤的方向。另一方面，邏輯可以被嚴格地證明，是精確和確定的。

龐加萊：用邏輯來演示，用直覺來發(fā)明

亨利·龐加萊，1854 - 1921

亨利·龐加萊，法國數(shù)學家和物理學家，認識到我們的直覺可能有誤導性（但主要負責數(shù)學的發(fā)展），邏輯推理是為了直觀結(jié)果的最終論證。他把偉大的數(shù)學家分為兩類，一類是遵循邏輯但不能“觀察空間”的分析家，另一類是遵循直覺的幾何學家，據(jù)龐加萊：

邏輯是證明的工具，只有它才能給出確定性；直覺是發(fā)明的工具（龐加萊，1969）。

想象一下，在一節(jié)初等幾何課上，有一個叫小明的學生，她用直覺和邏輯學習幾何。直覺被用來尋找證明策略。然后用邏輯一步一步地建立一個證明。小明遇到了以下問題：

已知三角形ABC，證明角a、角b、角c的和為180度。

小明馬上想起了平角是180度。因此，他認為，這個問題一定和一條直線有關。但現(xiàn)在沒有 直線，那么就在某處畫一條直線（輔助線）。試試在其中一個頂點處畫一條直線，隨便選c，這條線應該是什么方向的？一個顯而易見的選擇是讓它平行于AB。通過輔助線，小明發(fā)現(xiàn)角a和角d是相等的，角b和角e是相等的，但這只是直觀感受。但是，小明確實記得平行假設中的一些東西，它們確實相等，因此a + b + c = e + d + c = 180。

在這一點上，他解決這個問題的所有想法都來自于猜測和自發(fā)的判斷，這些都來自于他在課堂上所學到的知識。與其說他是一個邏輯推理者，不如說他是一個憑直覺進行猜測的人。接下來，她將運用自己的邏輯推理能力將這些點連接起來，并向她的幾何老師演示一個證明。即使是這個簡單的例子，小明也展示了一個典型的數(shù)學家是如何用直覺來發(fā)明和用邏輯來演示的。

羅素：不需要意義的游戲

伯特蘭·羅素，1872 - 1970

羅素和他的同事繼續(xù)弗雷格未完成的研究（詳細見：機器人之死——邏輯、直覺和悖論，決策者的困境）。然而，數(shù)學家們越是努力避免弗雷格所反對的那種悖論，就越容易得出更微妙、更深刻的悖論。

羅素給出了他的悖論的一個例證，叫做理發(fā)師悖論：

理發(fā)師會且只會為那些不給自己刮胡子的人刮胡子。理發(fā)師自己刮胡子嗎？

如果理發(fā)師給自己刮胡子，他（這個理發(fā)師）就不給他刮胡子；這是一個矛盾。另一方面，如果理發(fā)師不給自己刮胡子，他就會被理發(fā)師刮胡子；這也是一個矛盾。

與弗雷格不同的是，羅素放棄了公理必須是不言而喻的這一觀點，只要公理能夠在不矛盾的情況下發(fā)展數(shù)學知識。他曾說過：

數(shù)學可以被定義為一個我們永遠不知道自己在談論什么，也不知道自己所說的是否正確的學科。

任何先驗知識，無論它感覺如何不言而喻，都是被禁止的，人類的直覺在數(shù)學發(fā)展中應該沒有一席之地。羅素的《數(shù)學原理》用了362頁才推導出1+1=2，這并不奇怪。

《數(shù)學原理》第362頁，1+1=2得到了證明。

希爾伯特：不需要玩家的游戲

德國數(shù)學家大衛(wèi)·希爾伯特（David Hilbert, 1862-1943）擴展了弗雷格和羅素的工作，提出了著名的希爾伯特方案，即數(shù)學的任何分支都可以被重新表述為一種形式理論，他提出以下3個問題是否存在正解：

一個形式理論，其中的公理不能產(chǎn)生矛盾，它的一致性能否在理論本身內(nèi)得到證明？

形式理論能被證明是完備的嗎，因為它包含了任何真正的數(shù)學陳述在它想要體現(xiàn)的特定分支中。

是否存在一個純粹的機械過程，我稱之為通用證明機制，來判定任何給定的數(shù)學命題的真假。這個問題在德語中被稱為判定問題（Entscheidungsproblem）。

希爾伯特期望他所有問題的答案都是肯定的，這將完全消除直覺的必要性，使數(shù)學不再具有直覺性。在他對形式理論的樂觀中隱含著他的實證主義，即所有數(shù)學問題都可以被解決的信念。他的名言

我們必須知道，我們將知道（Wir müssen wissen, Wir werden wissen）

鐫刻在他的墳墓上。希爾伯特和他的同事被稱為“形式主義者”。

希爾伯特認為，通過從一組一致的公理開始，一個形式理論可以是完整的，自我驗證的。因為一個正式的理論不應該被人類解釋，而是被機械地證明，所以它被稱為一個正式的“系統(tǒng)”。將這種系統(tǒng)稱為“正式”意味著以前對同一主題的處理是“非正式的”。關于他的歐幾里得幾何形式理論，希爾伯特曾經(jīng)說過，與其談論點、線、面，還不如談論桌子、椅子和酒杯。

希爾伯特的“形式”數(shù)論

羅素認為數(shù)學是毫無意義的符號游戲，而希爾伯特則希望游戲本身能發(fā)揮作用。如果希爾伯特的宏偉愿景是正確的，一個正式的系統(tǒng)將總結(jié)過去，并確定數(shù)學的未來。具有諷刺意味的是，希伯特在這方面可能被自己的直覺誤導了。

哥德爾：數(shù)學家的回歸

庫爾特·哥德爾

庫爾特·哥德爾（1906-1978），奧地利裔美國邏輯學家。他在完備性定理中證明了一階邏輯的符號規(guī)則覆蓋了所有有效的邏輯推理，使希爾伯特程序看起來很有前途。然而，哥德爾的不完備性定理會破壞希爾伯特程序。他發(fā)現(xiàn)，有了后來以他的名字命名的編號方案，他可以把構(gòu)成數(shù)字正式系統(tǒng)的數(shù)學表述表示為數(shù)字本身。這樣，一個被認為可以證明數(shù)字事實的正式的數(shù)字系統(tǒng)，就可以證明關于它本身的事實。在哥德爾的編號下，一個正式的數(shù)字系統(tǒng)成為自我參照，如下所示：

此外，該理論還包括關于理論本身是否可證明的陳述。根據(jù)這一見解，哥德爾巧妙地構(gòu)建了一個“說謊者悖論”的修改版本，如下所示：

哥德爾悖論

如果它是真的，那么它就不能在理論中被證明。如果它是假的，那么它說的一定是假的，這意味著它在理論中是可以證明的，因此它一定是真的。所以，我們有一個真正的數(shù)學命題，它既不能在理論中被證明也不能被否定。一個數(shù)學理論的正式系統(tǒng)，即使是像數(shù)論那樣的初等系統(tǒng)，也只是一個近似值。

圖靈：程序員的崛起

可計算的是什么？

即使我們滿足于一個不完備的形式系統(tǒng)，是否存在一個通用證明機制來解決判定問題？在深入研究這個問題之前，我們需要回答什么是“純粹的機械過程”。英國數(shù)學家阿蘭·圖靈（Alan Turing, 1912-1954）定義了一個“純機械過程”的數(shù)學模型。模型中定義的機器會掃描被分割成方塊的假想磁帶。根據(jù)規(guī)則表和它自己的內(nèi)部狀態(tài)，它接下來在方塊上寫一個符號，然后要么保持不變，要么向右或向左移動一個方塊。這個機器模型后來被稱為圖靈機，他用它來進行數(shù)學論證，而不是制造一臺真正的計算機。一般認為宇宙中的一切都是可計算的，當且僅當它可以簡化為圖靈機。這被稱為丘奇-圖靈假說。上面提到的規(guī)則表現(xiàn)在被稱為“計算機程序”。

停機問題

在定義了圖靈機之后，圖靈進一步證明了希爾伯特通用證明機制的不存在性。受到哥德爾的編號方案的啟發(fā)，圖靈將機器編碼為數(shù)字，這樣機器就可以被研究為數(shù)字，這些數(shù)字可以作為其他機器的輸入。現(xiàn)在圖靈可以提出停機問題了：有沒有一種機器N，可以決定是否有任何機器在給定的輸入下停止或永遠循環(huán)。圖靈指出，僅僅是這種機器N的存在就會導致矛盾。

1954年，NACA“計算機”與顯微鏡和計算器一起工作。

圖靈假設有一個特殊的機器M，它的工作與N的工作完全相反。如果N判定一臺機器在將自己作為輸入時停止，M將永遠循環(huán)。另一方面，如果N判定一臺機器永遠循環(huán)，在這種情況下M將停止。這樣，你可以說M是被設計來故意破壞N的。現(xiàn)在的問題是：當特殊機器M將自己作為輸入時，它會停機嗎？

如果M在M上停止，根據(jù)M的定義，M將永遠循環(huán)——矛盾

如果M在M上永遠循環(huán)，M將停止——另一個矛盾

這個自我參照悖論如下所示：

停機問題。

因此，N不存在。停機問題無法解決，或者從技術上講，它是無法確定的。

現(xiàn)在我們可以回到希爾伯特的判定問題。如果存在通用證明機制，我們可以通過將任何對N的查詢表述為一個數(shù)學語句，使其成為N。然而，N并不存在，通用證明機制也不存在。另一方面，如果N確實存在，我們可以用以下簡單的方式實現(xiàn)通用證明機制：首先，編寫一個程序，無限地搜索一個數(shù)學語句的所有可能的證明，找到一個就停止；接下來，我們詢問N這樣的搜索程序是否停止。因此，停機問題的不可解性意味著判定問題的不可解，反之亦然。

如果我們想象有N存在，我們就可以很容易地解決許多困難的或開放的數(shù)字理論問題。例如，我們可以證明哥德巴赫猜想，即每個大于2的偶數(shù)都是兩個質(zhì)數(shù)的和。我們可以簡單地編寫一個程序來遍歷從4開始的所有偶數(shù)，并檢查每個偶數(shù)是否確實是兩個素數(shù)的和。然后，我們將把程序提供給N，并詢問它是否停止，從而證明猜想。事實上，這個問題還沒有解決。

不要為人類理性的力量設定任何界限，而要為數(shù)學中純粹形式主義的可能性設定界限。

換句話說，哥德爾和圖靈所展示的是沒有使用直覺的邏輯推理的局限性。他們實際上證實了龐加萊的觀點，即邏輯雖然嚴謹和確定，但它只是一種演示工具，需要由直覺來輔助。

希爾伯特的形式理論是數(shù)學知識的近似值。正如宇宙的物理現(xiàn)實仍然是一個謎，需要物理學家去解決它，數(shù)學知識的前沿對數(shù)學家來說仍然是難以捉摸的。現(xiàn)在，數(shù)學家和他們的直覺又回到了游戲中。

計算機的誕生和程序員的崛起

在對停機問題的證明中，假設的機器M必須有一種方法能夠運行N來破壞它。為了實現(xiàn)這一點，圖靈創(chuàng)造了通用機器，它可以讀取任何圖靈機的編碼。從外部來看，你無法分辨是通用機器還是特定的機器在工作。現(xiàn)代計算機是以通用機為基礎的，通用機通常被描述為“強大”到可以做任何可以想象到的事情。但是，它的力量從何而來？它實際上是一個用來運行其他圖靈機的空殼，這些機器肯定是由某些人編寫的，不是通過邏輯推理，而是通過創(chuàng)造力、洞察力、判斷和我們心理的許多其他方面的努力，這些努力可以統(tǒng)稱為直覺。從這個角度來看，圖靈不僅發(fā)明了計算機，而且創(chuàng)造了程序員的角色，他們負責利用通用機器的“表達能力”來編程。我們擁有的是幾乎觸及我們?nèi)粘Ｉ罘椒矫婷娴娜f能電腦，而不是把自己鎖在象牙塔里的全能邏輯機器！

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