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初等行變換求逆矩陣的技巧（求逆矩陣可以用列變換嗎）

2023-07-22 11:08:40 知識問答 來源：
導(dǎo)讀 求逆矩陣不可以用列變換,因為通過初等行變換是在原矩陣右邊拼接一個同階的單位矩陣,通過初等列變換是在原矩陣下方拼接一個同階的單位矩陣。...

求逆矩陣不可以用列變換,因為通過初等行變換是在原矩陣右邊拼接一個同階的單位矩陣,通過初等列變換是在原矩陣下方拼接一個同階的單位矩陣。

設(shè)A是數(shù)域上的一個n階矩陣，若在相同數(shù)域上存在另一個n階矩陣B，使得：AB=BA=E，則我們稱B是A的逆矩陣，而A則被稱為可逆矩陣。

標(biāo)準(zhǔn)型矩陣B可以由A經(jīng)過一系列初等變換得到

經(jīng)過多次變換以后，得到一種最簡單的矩陣，就是這個矩陣的左上角是一個單位矩陣，其余元素都是0，那么這個矩陣就是原來矩陣的等價標(biāo)準(zhǔn)型。

如果矩陣B可以由A經(jīng)過一系列初等變換得到 那么矩陣A與B是等價的。

經(jīng)過多次變換以后，得到一種最簡單的矩陣，就是這個矩陣的左上角是一個單位矩陣，其余元素都是0，那么這個矩陣就是原來矩陣的等價標(biāo)準(zhǔn)型。

將一n階可逆矩陣A和n階單位矩陣I寫成一個nX2n的矩陣對B施行初等行變換，即對A與I進行完全相同的若干初等行變換，目標(biāo)是把A化為單位矩陣。當(dāng)A化為單位矩陣I的同時，B的右一半矩陣同時化為了A的逆矩陣。

如果矩陣A和B互逆，則AB=BA=I。由條件AB=BA以及矩陣乘法的定義可知，矩陣A和B都是方陣。再由條件AB=I以及定理“兩個矩陣的乘積的行列式等于這兩個矩陣的行列式的乘積”可知，這兩個矩陣的行列式都不為0。

初等行變換：對(AE)施行初等行變換，把前面的A化為單位矩陣，則后面的E就化為了A^-1。

伴隨矩陣法：如果A可逆，則A^-1=1/|A|*(A^*)其中|A|是A的行列式，A^*是A的伴隨矩陣。

如果A是二階矩陣，倒是有簡便快速的方法：主對角交換，副對角取反，再除行列式。這其實仍是伴隨矩陣法。

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