目前大家應(yīng)該是對(duì)直角三角形（圖形的認(rèn)識(shí)直角三角形）比較感興趣的，所以今天好房網(wǎng)小編CC就來(lái)為大家整理了一些關(guān)于直角三角形（圖形的認(rèn)識(shí)直角三角形）方面的相關(guān)知識(shí)來(lái)分享給大家，希望大家會(huì)喜歡哦。

直角三角形（圖形的認(rèn)識(shí)---直角三角形）

勾股定理

在圖形的研究中，直角三角形是最為基礎(chǔ)的，也是最為重要的。大概正因?yàn)槿绱?，幾乎所有的古代文明都研究了直角三角形，并且在許多古代文明的歷史文獻(xiàn)中都明確地記載了與直角三角形的邊長(zhǎng)關(guān)系密切的三個(gè)數(shù)值：3，4，5。在中國(guó)，這三個(gè)數(shù)值最早記載在《周髀算經(jīng)》之中，書中說(shuō)到，商高答周公：

勾廣三，股修四，徑隅五

這就是說(shuō)，一個(gè)直角三角形，如果兩個(gè)直角邊（勾，股）的長(zhǎng)度分別為3和4，那么斜邊的長(zhǎng)度為5。三國(guó)時(shí)代的趙爽注《周髀算經(jīng)》時(shí)，對(duì)這個(gè)問(wèn)題給出了一般的結(jié)果并對(duì)結(jié)果給出了證明。令兩個(gè)直角邊為a和b，斜邊為c，那么三個(gè)邊長(zhǎng)之間的關(guān)系為

a2+b2=c2(1)

我們稱上述定理為勾股定理，并把滿足上式的整數(shù)解稱為勾股數(shù)，這是由三個(gè)整數(shù)構(gòu)成的數(shù)組。在西方稱這個(gè)定理為畢達(dá)哥拉斯定理，稱這個(gè)數(shù)組為畢達(dá)哥拉斯數(shù)。顯然，（3，4，5）是一組勾股數(shù)，并且是一組最小的勾股數(shù)。在尼羅河三角洲發(fā)現(xiàn)的，大約為公元前兩千年的卡呼恩紙草書上有這樣一個(gè)題目：

“將一個(gè)面積為100的大正方形分為兩個(gè)小正方形，一個(gè)邊長(zhǎng)為另一個(gè)邊長(zhǎng)的四分之三”

這個(gè)答案恰為一組勾股數(shù)（6，8，10）。古埃及人是這樣得到結(jié)果的：如果b=1，那么a=3/4，于是由（1）式可以得到c=5/4。現(xiàn)在c=10，是5/4的8倍，這樣就可以得到結(jié)論：a=(3/4)×8=6,b=1×8=8。這里用到了“兩個(gè)三角形相似當(dāng)且僅當(dāng)這兩個(gè)三角形的對(duì)應(yīng)邊成比例”這個(gè)命題，而這個(gè)命題卻是我們今天初中數(shù)學(xué)教學(xué)的難點(diǎn)之一，那么古埃及人是如何直觀地得到這個(gè)命題的呢？我想，大概是巧妙地應(yīng)用了勾股定理，我們對(duì)這個(gè)問(wèn)題分析如下：

在我國(guó)初中數(shù)學(xué)的“圖形與幾何”的教學(xué)中，關(guān)于相似形，只給出了多邊形相似的定義：如果兩個(gè)多邊形的對(duì)應(yīng)角相等，對(duì)應(yīng)邊成比例，則稱這兩個(gè)多邊形相似。顯然，這個(gè)定義沒有回答存在性，即沒有給出“對(duì)于任意給定的邊之間的相似比例，相似多邊形都是存在的”這樣的命題。這樣，把多邊形相似的定義應(yīng)用到三角形時(shí)就出現(xiàn)了問(wèn)題，因?yàn)閷?duì)于兩個(gè)三角形相似，只需要對(duì)應(yīng)邊成比例。這意味著，兩個(gè)對(duì)應(yīng)邊成比例的三角形，對(duì)應(yīng)角也一定相等，但是，要證明這個(gè)命題卻是相當(dāng)煩瑣的，這也是現(xiàn)在中學(xué)數(shù)學(xué)教學(xué)中比較難處理的問(wèn)題之一?，F(xiàn)在，我們嘗試性地回歸古埃及人的思考。

首先，古埃及人清楚地知道：一個(gè)三角形是直角三角形當(dāng)且僅當(dāng)勾股定理成立，也就是說(shuō)，不僅知道直角三角形地三個(gè)邊長(zhǎng)滿足（1)式，而且知道邊長(zhǎng)滿足（1）式的三角形是直角三角形。甚至很多數(shù)學(xué)史的專家認(rèn)為，古埃及人在修建金字塔時(shí)，就用了（3，4，5）這組勾股數(shù)來(lái)決定直角。那么，對(duì)于兩個(gè)三角形Δ1和Δ2，假設(shè)邊長(zhǎng)分別為a,b,c和A,B,C，如圖（1）（a)所示：

如果Δ1是直角三角形，并且與Δ2的對(duì)應(yīng)邊之間成比例，即a/A=b/B=c/C，則由勾股定理知道Δ2也是直角三角形，并且角α與角β相等，這樣就可以得到圖（1）（b)。于是得知這兩個(gè)直角三角形相似，即直觀地得到“兩個(gè)直角三角形的對(duì)應(yīng)邊成比列則這兩個(gè)三角形相似”這樣的命題。因?yàn)槿我庖粋€(gè)三角形都可以化為兩個(gè)直角三角形，因此也不難得到“兩個(gè)三角形的對(duì)應(yīng)邊成比例，則這兩個(gè)三角形相似”的一般結(jié)論。

在上面的計(jì)算中，用到了直角三角形的邊角關(guān)系，即在圖（1）（a)中有

∠α=∠β 當(dāng)且僅當(dāng)b/a=B/A (2)

可以看到，上式構(gòu)建了三角函數(shù)的直觀基礎(chǔ)：在任意兩個(gè)直角三角形中，如果有一個(gè)銳角相等，那么這兩個(gè)直角三角形的直角邊之比就對(duì)應(yīng)相等，也就是說(shuō)，等角對(duì)應(yīng)的直角邊之比是一個(gè)常數(shù)。于是，人們可以定義這個(gè)常數(shù)值，比如稱其為正切值，即（2）式右邊的比值恰為角α（因而也為角β）的三角函數(shù)正切值?？梢钥吹?，因?yàn)樯a(chǎn)實(shí)踐的需要，古埃及人已經(jīng)創(chuàng)造出許多計(jì)算圖形長(zhǎng)度，面積，體積以及邊角關(guān)系的方法，但是，更讓人們吃驚的卻是在兩河流域的發(fā)現(xiàn)，有的學(xué)者認(rèn)為，在公元前1600年以前的古巴比倫人就已經(jīng)作出了三角函數(shù)的正切表，這當(dāng)然與勾股數(shù)有關(guān)。

古巴比倫

奔流不息的底格里斯河和幼發(fā)拉底河發(fā)源于現(xiàn)今的土耳其，流入波斯灣，這兩條河流澆灌出了美索不達(dá)米亞平原，也養(yǎng)育了兩河流域文明。公元前19世紀(jì)，在這片土地上曾經(jīng)建立了一個(gè)強(qiáng)盛的巴比倫王國(guó)，其首都在巴比倫城，因此人們也稱這里的文明為古巴比倫。事實(shí)上，兩河流域文明延綿三千多年，古巴比倫是兩河流域文明最重要的組成部分，但不是全部。關(guān)于巴比倫城，希羅多德在《歷史》這部書中是這樣描述的：

“這座城市位于一個(gè)大平原之上，形狀是正方的，每一面有120斯塔迪昂長(zhǎng)，因此它的周圍就一共是480斯塔迪昂了。這座城市的幅員有這般大，而它的氣派也是我們所知道的任何城市所難以相比的。

有一條河從中間把全城分成兩部分，這條河便是幼發(fā)拉底河，這是一條又寬又深，而且水流湍急的河流。它發(fā)源于阿爾美尼亞，流入紅?！?/p>

希羅多德

其中長(zhǎng)度單位一個(gè)斯塔迪昂大約為211-224米，如果希羅多德的記載是可靠的，那么古巴比倫城一面的長(zhǎng)度大約為26千米，整個(gè)城市的占地面積大約為670平方千米，相當(dāng)于現(xiàn)在的新加坡，這確實(shí)是一個(gè)相當(dāng)大的都市。但是，希羅多德《歷史》中的許多記載都是不可靠的，不像司馬遷的《史記》那樣經(jīng)得起推敲。

我們已經(jīng)說(shuō)過(guò)，兩河流域的人們把楔形文字刻寫在泥版上，在已經(jīng)發(fā)現(xiàn)的幾十萬(wàn)塊泥版中大約有300快是與數(shù)學(xué)有關(guān)的，其中包括一些數(shù)表，比如乘法表，倒數(shù)表，平方表和立方表。其中有一個(gè)被稱為“普林頓322”的泥版，記錄了15組勾股數(shù)。我們知道，即便是在今天，能夠計(jì)算出15組勾股數(shù)也不是一件容易的事情，而這項(xiàng)工作卻是在公元前1900-前1600年的古巴比倫時(shí)代完成的，實(shí)在是令人感嘆。

現(xiàn)代科學(xué)技術(shù)已經(jīng)相當(dāng)發(fā)達(dá)了，但勾股定理在今天仍然有著廣泛的應(yīng)用。這個(gè)應(yīng)用是基于下面的幾何直觀，如圖（2）所示：

圖（2)

我們把直角三角形的斜邊看作二維空間的向量c→，那么向量c→向直線L（一維空間）上的投影恰為a→，也就是說(shuō)，對(duì)于直線L上的任何點(diǎn)d，都有

||c→-a→||≤||c→-d→||

這就說(shuō)明在低維空間L中最接近c(diǎn)的點(diǎn)為a，也就是說(shuō)，如果要用低維空間的點(diǎn)來(lái)代替c，那么最合適的點(diǎn)就是a。我們可以把這種想法推廣到一般，即用勾股定理的方法把高維空間的一個(gè)向量c→投影到低維空間L上去，這就為處理大規(guī)模數(shù)據(jù)，或者處理多維參數(shù)模型提供了強(qiáng)有力的數(shù)學(xué)工具。

我們看到，在日常生活和生產(chǎn)實(shí)踐中，古埃及人，古巴比倫人以及古代中國(guó)人創(chuàng)造出了如此實(shí)用，如此豐富多彩的經(jīng)驗(yàn)幾何學(xué)，但是他們沒有在一般的意義上對(duì)創(chuàng)造出來(lái)的知識(shí)進(jìn)行歸納與抽象，因此也沒有總結(jié)出幾何學(xué)的一般概念和原理。事實(shí)上，對(duì)應(yīng)圖形進(jìn)行高度抽象從而建立了幾何學(xué)的是思維嚴(yán)謹(jǐn)，善于雄辯的古希臘人。

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