圖 2 羅巴切夫斯基

02 羅氏幾何的誕生：

1815年，羅巴切夫斯基開始研究平行線理論，盡管他還是一個23歲的青年，但是已經(jīng)留校工作，并在第二年升為額外教授。一開始，他也是循著前人的思路，試圖給出第五公設(shè)的證明。

一個證據(jù)是，在保存下來的他的學(xué)生聽課筆記中， 就記有他在1816~1817學(xué)年度幾何教學(xué)中給出的幾個證明。但是，很快他便意識到自己的證明是錯誤的。他已經(jīng)看到，“在概念本身之中并未包含大家想要證明的真情實(shí)況”，換句話說，從幾何學(xué)的基本的前提和概念并不能推導(dǎo)出第五條公設(shè)。那么他怎么肯定這種推導(dǎo)的不可能性呢？或許他曾了解過薩凱里、呂格爾、蘭伯特等人的工作， 并從中受益良多。他肯定了的是，可以循著薩凱里和蘭貝爾特曾經(jīng)走過前幾步的途徑，繼續(xù)地走下去。

前人和自己的失敗從反面啟迪了他，使他大膽思索問題的相反提法：可能根本就不存在第五公設(shè)的證明。于是，他便調(diào)轉(zhuǎn)思路，著手尋求第五公設(shè)不可證的解答。

羅巴切夫斯基新的嘗試是借助反證法進(jìn)行的，這很像他的前輩薩凱里、蘭伯特所使用的歸謬法。不過為證“第五公設(shè)不可證”，他首先對第五公設(shè)加以否定，假設(shè)“過平面上直線外一點(diǎn)， 至少可引兩條直線與已知直線不相交”，然后用這個否定命題和其他公理公設(shè)組成新的公理系統(tǒng)，并由此展開邏輯推演。假設(shè)第五公設(shè)是可證的，即第五公設(shè)可由其他公理公設(shè)推演出來，那么，在新公理系統(tǒng)的推演過程中一定能出現(xiàn)邏輯矛盾，至少第五公設(shè)和它的否定命題就是一對邏輯矛盾；反之，如果推演不出矛盾，就反駁了“第五公設(shè)可證”這一假設(shè)，從而也就間接證得“第五公設(shè)不可證”。

事實(shí)上，在推演過程中，他得到一連串古怪的命題，但是，經(jīng)過仔細(xì)審查，卻沒有發(fā)現(xiàn)它們之間含有任何邏輯矛盾。于是，遠(yuǎn)見卓識的羅巴切夫斯基大膽斷言，這個“在結(jié)果中并不存在任何矛盾”的新公理系統(tǒng)可構(gòu)成一種新的幾何。它的邏輯完整性和嚴(yán)密性可以和歐幾里得幾何相媲美，而這個無矛盾的新幾何的存在，就是對第五公設(shè)可證性的反駁，也就是對第五公設(shè)不可證性的邏輯證明。由于尚未找到新幾何現(xiàn)實(shí)世界的原型和類比物，羅巴切夫斯基慎重地把這個新幾何稱之為“想象幾何”。

由此，羅巴切夫斯基斷定了第五條公設(shè)的不可證明性和根據(jù)否定公理展開新幾何學(xué)的可能性。當(dāng)然，這里包含著極為重要的一個普遍結(jié)果：在邏輯范疇內(nèi)，可以存在的并不只是一種幾何學(xué)。即是說，邏輯上互不矛盾的一組假設(shè)都有可能提供一種幾何學(xué)。

下面講解羅氏幾何的具體內(nèi)容：

長度與角的關(guān)系：

我們不妨先說一下羅氏平行公理。羅氏平行公理是這樣說的：從直線L外一點(diǎn)O，至少可以引和L不相交的兩條直線OL和OM，例如本頁圖4所示那樣，直線OL叫做右平行線，直線OM叫做左平行線。從O向直線L引垂線ON，設(shè)ON=P，那么，∠NOL就隨P的變化而變化，把這個角叫作平行角。

其中k是一個常數(shù)，為空間常數(shù)。

羅巴切夫斯基三角學(xué)：

羅氏幾何的三角形性質(zhì)不同于我們印象中歐式幾何中的三角形。我們認(rèn)為三角形內(nèi)角和等于兩個直角。而在羅氏幾何中，三角形的內(nèi)角和小于兩個直角。更讓人驚奇的是，在羅氏幾何中，不同的三角形一般有不同的內(nèi)角和。換句話說，只要三角形的內(nèi)角和不同，它們的形狀就不同。由此可以得出在羅氏幾何中不存在歐式幾何內(nèi)角和相同，形狀相同的相似三角形。

三角形面積和兩直角與它的內(nèi)角和的差成正比。如果以S（△）表示三角形的面積，

以α、β、γ分別表示三角形的三個內(nèi)角，那么

叫做“虧損”?？梢钥吹?，三角形內(nèi)角和對π的虧損因它的面積增大而增大。也能看成，不存在面積任意大的三角形。當(dāng)內(nèi)角和趨近于0時，三角形的面積無限逼近Kπ。任何三角形面積永遠(yuǎn)不會超過Kπ。

在充分小的區(qū)域內(nèi)，羅氏幾何和歐氏幾何的差異很小。即在極小空間內(nèi)，羅氏幾何就退化成了歐幾里得幾何。下面以圓周長為例進(jìn)行具體說明：

圓周長度L不與半徑r成正比，而是更迅速地增長（在指數(shù)定律的基礎(chǔ)上），那就是說，下列公式成立：

所以我們從公式（1）得：

，這是歐氏結(jié)合中的圓周的公式。

既然常數(shù)k越大，與歐幾里得幾何的差異越小，那么在極限情形，當(dāng)k無限變大時，羅氏幾何就變成了歐幾里得幾何。這就是說，歐幾里得幾何正好是羅氏幾何的極限情形。因而如果在羅巴切夫斯基幾何里添上了這個極限情形，則它也就包括了歐幾里得幾何，在這意義下它就顯得是更普遍的理論。由于這個緣故，羅巴切夫斯基把自己的理論命名為“泛幾何學(xué)”，即普遍的幾何學(xué)。理論之間的這種關(guān)系在數(shù)學(xué)和自然科學(xué)的發(fā)展中經(jīng)常出現(xiàn)。

04羅氏幾何的直觀模型

從前面所列舉的羅氏幾何中的一些命題可以看到，這些命題和我們所習(xí)慣的直觀形象有矛盾。所以羅氏幾何中的一些幾何事實(shí)沒有像歐氏幾何那樣容易被人們接受，這也是羅氏幾何早期歷程如此艱難的重要原因。羅巴切夫斯基自己終其一生都沒能在歐氏幾何的已經(jīng)用慣的概念體系中建立羅氏幾何的比較簡單的現(xiàn)實(shí)意義。但是，后來的數(shù)學(xué)家們經(jīng)過研究，提出可以用我們習(xí)慣的歐氏幾何中的事實(shí)作一個直觀“模型”來解釋羅氏幾何是正確的，即克萊因模型。

克萊因模型非常簡單明了：在普通歐氏平面上取一個圓，并且只考慮圓的內(nèi)部。它約定圓的內(nèi)部叫“平面”，圓的弦叫“直線”（將弦的端點(diǎn)除外）。

圖6 愛因斯坦

使數(shù)學(xué)哲學(xué)研究進(jìn)入了一個嶄新的時期。給康德唯心主義哲學(xué)以有力一擊，使數(shù)學(xué)從傳統(tǒng)的形而上學(xué)的束縛下解放出來。也為唯物主義的發(fā)展掃清了一些障礙。

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